А.Т. Ильичев, А.А. Савин
12
При
0
q
множество коразмерности 2, на котором происходит
бифуркация, представляет собой кривую, заданную в виде
2 2
3
2
2
2
2
2
3
2
3 cth 3 sh
cth
;
8
8
4
3cth sh
cth
;
4
4
2
cth sh
cth
.
ˆ
ˆ
8
ˆ
8
4
q q q q q qsh q
q
q q q sh q
b
q
q
q q sh q
q
q
q
(18)
Асимптотики параметров
ˆ
,
ˆ
b
и
ˆ
на этой кривой имеют вид
6
4
2
1
1
1 ( ),
( )
ˆ
ˆ
ˆ ,
( ),
0;
3
45
O q b
O q
O q q
3
3
3
1
,
,
ˆ
,
.
ˆ
8
4
8
q b
q
q
q
Бифуркация коразмерности 2 отвечает появлению на мнимой оси
в плоскости спектрального параметра пары комплексно-сопря-
женных собственных чисел кратности 3 при критических значениях
параметров
ˆ
,
ˆ
b
и
ˆ,
которые удовлетворяют (18). Легко увидеть,
что эта бифуркация имеет место только при отрицательных ,
и по-
этому здесь не будет рассмотрена, как не имеющая физического
смысла. Заметим только, что эта бифуркация является предельным
случаем бифуркации коразмерности 1, которая происходит также при
отрицательных .
Так, если
0,
то параметризующая поверхность
(17) отрицательна и находится в окрестности кривой (18); имеет ме-
сто одна пара двукратных и одна пара простых комплексно-
сопряженных собственных значений на мнимой оси. Эта бифуркация
соответствует сложному 1:1-резонансу и играет важную роль при
спонтанном нарушении размерности волновых структур [31].
Семейство уединенных волновых пакетов
. Поведение собствен-
ных значений оператора ( )
на мнимой оси показано на рис. 2. Соб-
ственные значения, пары которых совпадают на мнимой оси, показаны
черными кружками по обе стороны от поверхности (17) и над плоско-
стью
1
и белыми кружками — под плоскостью
1.
Бифуркации
этого типа впервые изучены в работах [36, 40] для
0
b
и
0
. Здесь
нет ограничений на знак
b
, хотя рассмотрение случая отрицательных
значений этого параметра не добавляет ничего нового к качественному
поведению волн.
