Дефокусировка нелинейных волновых пакетов на ледяном покрове
3
сматриваемые в настоящей статье уединенные волновые пакеты яв-
ляются продуктами 1:1-резонанса.
4. Понижение порядка динамической системы. Формально пони-
жение порядка осуществляют с помощью разбиения неизвестных
функций на сумму двух слагаемых. Одно из этих слагаемых пред-
ставляет собой линейную комбинацию присоединенных и собствен-
ных векторов, соответствующих центральному спектру (мнимым
собствен-ным значениям), другое — является малой следующего по-
рядка по амплитуде волн и представляет собой определяемую функ-
цию от первого слагаемого. Уравнения, которым удовлетворяют ко-
эффициенты упомянутой линейной комбинации, являются системой
пониженного порядка. В случае бесконечномерной динамической
системы указанное понижение порядка возможно лишь при выпол-
нении дополнительных условий, которым должен удовлетворять
оператор
[31–34].
5. Исследование системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, полученных после понижения порядка. Для этого исполь-
зуют асимптотические методы, в частности приближение уравнений
пониженного порядка их квазинормальными формами. Уравнения в
квазинормальной форме, отвечающие всем четырем перечисленным
типам бифуркаций, являются интегрируемыми [35–37]. В работе [31]
даны формулировки общих результатов теории квазинормальных
форм для обратимых систем, а также вывод уравнений в квазинор-
мальной форме в рассматриваемых случаях.
6. Доказательство грубости решений типа уединенной волны
асимптотических уравнений, т. е. доказательство того факта, что ре-
шения полной системы, приближаемые решениями асимптотических
уравнений, являются также уединенными волнами соответствующих
типов. Эти доказательства, как правило, сводятся к использованию
теоремы о неявной функции в различных формах. Для бифуркации
1:1-резонанса такое доказательство известно (см., например, [31]).
Несмотря на то что исследуется конкретная задача, настоящий
анализ обладает определенной общностью. Полученные результаты
качественно основываются на некоторых общих свойствах целого
класса обратимых задач и количественно определяются лишь неболь-
шим числом параметров. Инвариантность относительно преобразова-
ния Галилея сводит поиск бегущих волн к решению стационарной за-
дачи, которая описывается квазилинейной системой эллиптических
уравнений. В рассматриваемом случае эти уравнения зависят от трех
безразмерных параметров: ,
b
и
,
где
равен обратному квадрату
числа Фруда,
b
— аналог числа Бонда для капиллярных сил и опреде-
ляется предварительным напряжением пластины, а
— параметр,
характеризующий жесткость пластины на изгиб.
