А.Т. Ильичев, А.А. Савин
10
( , , )
.
b
Системы уравнений (12) и (13) обратимы по от-
ношению к изометрии
diag( 1,1, 1,1, 1).
Легко увидеть, что
отображает
( )
D
в гильбертово про-
странство
2
0
{0} {0}
(0,1),
Z
которое является замкнутым
подпространством
X
.
В заключение приведем явный вид сопряженного оператора
*
( ) :
w
1
2
1
2
2
1
( )
(1),
(1), ,
(1),
,
y
y
w
bw
w w w
w
имеющего область определения
*
3 1
2
2
( )
(0,1) {
(1),
D
w
2
(0) 0}.
w
Спектр и резонансы
. Можно показать, что оператор
( )
имеет
компактную резольвенту и, следовательно, его спектр состоит из соб-
ственных значений, каждое из которых имеет конечную кратность
[41]. Эти собственные значения являются корнями уравнения (2).
Вследствие вещественности
( )
и обратимости уравнений (13)
спектр
( )
симметричен относительно вещественной и мнимой
осей в комплексной плоскости спектрального параметра. Из общей
теории [33] и теоремы о резольвентных оценках, доказанной в работе
[31], следует, что все ограниченные решения (12), лежащие
в достаточно малой окрестности нулевого решения, могут быть найде-
ны из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
которые связаны с центральной частью спектра
( ),
состоящей из
конечного числа мнимых собственных значений. Следовательно, мно-
жество нетривиальных решений (12) будет изменяться качественно
только при тех значениях параметров, при которых изменяется упомя-
нутая центральная часть спектра.
Для нахождения значений ˆ
ˆ ,
) ˆ ( ,
b
в пространстве параметров
( , , )
,
b
соответствующих наступлению бифуркации,
необходимо определить те значения, при которых уравнение (2) име-
ет мнимые корни кратности больше 1, иными словами, происходят
резонансы (собственные значения
оказываются на мнимой оси
парами).
Положим
.
iq
Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
2
4
cth
.
q q
bq q
(14)
Корень кратности 2 должен удовлетворять уравнению
2
3
cth sh
4 ,
q q q q q
(15)
