А.Т. Ильичев, А.А. Савин
8
2
1
2
rot
0, div 0,
( , )
;
1 | |
const, ( , )
;
2
0,
0, ( , )
;
(1, 0),
( ) 1,
.
xx
x
x z D
b
c
x z D
u v
v
x z D
x
x
v
v
v
v
(11)
Постоянные
, ,
b
и
c
определяются здесь соотношениями
2
0
2
2
2 3
;
;
;
,
.
s
gH
h
J
V
h
b
c
a a
V
HV
V H
gH
H
а функции
,
j
1, 2,
j
имеют вид
2
1
2
3/2
3/2
2
2
;
.
1 ( )
1 ( )
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
a
a
Будем рассматривать предел тонкой пластины, т. е. отбросим члены
порядка
( / )
O h H
, полагая, таким образом,
0
a c
. По сравнению с
работами [36], [40], где исследовали капиллярно-гравитационные вол-
ны, в третьем уравнении [11] появляется дополнительное слагаемое
2
;
кроме того, знак
b
может быть теперь любым.
Определим новые «полулагранжевы» координаты
( , )
(0,1)
x y
по формуле
( , )
,
y x z z
Ψ
где
( , )
x z
— функция тока, нормиро-
ванная с помощью среднего расхода
.
Q VH
Кроме того, отобразим
поле скоростей
( , ) (1 , )
u v
U
v
на векторное поле
1 2
( , )
w w w
[33]:
2 2
1
2
1 (1 )
1 ;
,
2
1
w
U
w
U
где
U
,
предполагаются малыми,
Ψ,
z
U
Ψ.
x
Оба этих
преобразования являются обратимыми, как и отображение
(0,1).
D D
В новых переменных система уравнений (11) принимает вид
( , ),
1;
( )
,
,
.
x
x
y
y
x y D
f w
w w w
(12)
Здесь
1 2
2
( , , ),
(1);
w
1 2 3
( , , ),
( , )
,
1, 2;
j
j
f f f
f
j
f
w
