А.Т. Ильичев, А.А. Савин
20
Уединенный волновой пакет является членом семейства солитонов
огибающей в окрестности точки дисперсионной кривой, в которой фа-
зовая и групповая скорости совпадают. При тех волновых числах, для
которых коэффициент
2
q
при ведущей нелинейности в квазинормаль-
ной форме отрицателен, периодические волны малой амплитуды устой-
чивы и, как следствие, система обладает темными солитонами вместо
уединенных волновых пакетов. Присутствие таких волн известно на по-
верхности раздела двух бесконечных слоев жидкости с капиллярными
эффектами [43]. Переход от уединенных волновых пакетов к темным
солитонам в этом случае имеет место, когда коэффициент
2
q
меняет
знак, т. е. при
(21 8 5) 11,
c
R R
где
R
— критическое отношение
плотностей верхнего и нижнего слоев. При
c
R R
существуют уеди-
ненные волновые пакеты, что означает, что в окрестности резонансного
волнового числа
(1 ) / 2
q
R
имеет место самофокусировка периоди-
ческих волн [43]. При
c
R R
уединенный волновой пакет замещается
темным солитоном — индикатором модуляционной устойчивости. Та-
ким образом, при переходе
R
через
c
R
фокусирующая окрестность ре-
зонансного волнового числа
q
замещается дефокусирующей.
В случае гравитационно-изгибных волн коэффициент
2
q
также ме-
няет знак. Физический механизм перехода резонансного волнового чис-
ла в дефокусирующую область, естественно, отличается от случая двух-
слойной жидкости. Рассмотрим случай
0,
b
т. е. когда в слое льда
начальное напряжение
0
0.
Поверхность, определяемая уравнения-
ми (17), вырождается при этом в плоскую кривую (в плоскости
0),
b
заданную параметрически следующим образом:
2
2
2
3
2
ˆ
ˆ
3
,
.
4
4
4
4
q cth q sh q
cth q sh q
q
q
q
(26)
Функции
ˆ
и
ˆ
вида (26) монотонно возрастают и монотонно убы-
вают, подчиняясь, соответственно асимптотикам
2
3
2
3
1
1
( ),
,
0;
6
6
3
1
,
,
ˆ
4
ˆ
.
ˆ
ˆ
4
q O q
q
q
q
q
q
Коэффициент
2
q
обращается в нуль при критическом безразмерном
волновом числе
5, 79.
c
q
При волновых числах
c
q q
существуют уединенные волновые
пакеты и, следовательно, в этой области имеет место самофокуси-
