А.Т. Ильичев, А.А. Савин
2
воздействиях. Рассмотрены импульсный точечный источник в толще
жидкости; удар по ледяному покрову; начальный импульс, сообщае-
мый поверхности жидкости; начальное смещение ледяного покрова.
В работе [28] те же авторы обобщают постановки задач [27]. Плоская
задача о возмущении ледяного покрова движущимся в жидкости ди-
полем исследована в статьях [29, 30], где найдена устанавливающая-
ся на ледяном покрове волна при длительном движении диполя и
описан характер процесса ее установления.
Ниже будут рассмотрены некоторые свойства специальных вол-
новых пакетов, представляющих собой уединенные волны, у которых
скорость огибающей (групповая скорость) равна скорости монохро-
матических волн, распространяющихся под огибающей (фазовая ско-
рость) на поверхности идеальной несжимаемой жидкости под ледя-
ным покровом.
Основные этапы исследования
. Анализ задачи о распростране-
нии волн в жидкости под ледяным покровом в настоящей работе вы-
полнен в соответствии со следующими пунктами.
1. Определение критического значения параметра бифуркации,
т. е. значения физического параметра задачи
0
,
при малом воз-
мущении
0
которого наряду с нулевым решением система
имеет нетривиальное решение.
2. Запись системы уравнений, описывающих бегущие волны, в
виде конечномерной или бесконечномерной динамической системы:
( , ),
w w w
(1)
где
w
— неизвестная вектор-функция (точка над функцией обозначает
производную по неограниченной пространственной координате, кото-
рая играет роль динамической переменной);
( )
— матрица или ли-
нейный оператор, действующий в некотором гильбертовом простран-
стве (в случае бесконечномерной динамической системы),
0
( );
а
( , )
w
— нелинейная вектор-функция своих аргументов.
3. Определение собственных значений линейного оператора
( )
в окрестности мнимой оси при изменении
спектрального па-
раметра
0
.
Бифуркации возникают при пересечении соб-
ственными значениями
( )
мнимой оси. В силу обратимости си-
стемы уравнений собственные значения
( )
выходят на мнимую
ось парами при изменении параметра
и являются симметричными
относительно мнимой и вещественной осей. В монографии [31] рас-
смотрены следующие типы бифуркаций: бифуркация, отвечающая
простому резонансу, или бифуркация из нулевого волнового числа;
бифуркация, отвечающая резонансу длинной и короткой волн; би-
фуркация 1:1-резонанса, бифуркация сложного 1:1-резонанса. Рас-
