Дефокусировка нелинейных волновых пакетов на ледяном покрове
11
а кратности 3 — уравнению
2
2
sh (2 cth 1) 12 .
q q q
q
(16)
Отметим, что если
0,
q
то соотношения (15), (16) определяют
b
и
как функций от
q
, в то время как уравнение (14) фиксирует
в
зависимости от
q
. Однако
0
q
отвечает
1
в силу справедливо-
сти разложения
1
3
5
cth
/ 3 (1 / 45)
( )
q q q
q O q
для
q
в окрестности нуля. Таким образом, для получения полной
картины расположения действительных корней уравнения (14) необ-
ходимо рассмотреть следующие два случая.
1. Корень
0.
q
При
1
и произвольных
b
и
соотношения (14), (15) выпол-
няются, а (16) — нет. Необходимо также различать случаи
1 / 3
b
и
1 / 3
b
. При
1 / 3
b
0
q
— единственное решение (14), в то вре-
мя как при
1 / 3
b
имеет место пара дополнительных простых кор-
ней
q
,
0.
q
Таким образом, при
ˆ 1
,
1 / 3,
b
имеем собственные
значения в центральном спектре, которые имеют кратность 2, и один
зависимый параметр определяет бифуркацию коразмерности 1. В
противоположность случаю коразмерности 1 случай
1,
1 / 3,
b
приводит к корню уравнения (2)
0
q
кратности 4, в резуль-
тате чего возникает бифуркация коразмерности 2 (единственным
свободным параметром является
).
2. Корень
0.
q
В результате решения соотношений (14), (15) получаем поверх-
ность, параметризованную следующим образом:
2 2
2
4
2
ˆ
ˆ
cth
sh
cth sh
;
2
.
2
2
2
2
q q q q
q
q
q
b
q
q
(17)
Асимптотики параметров
ˆ
и
ˆ
b
на поверхности (17) имеют вид
4
6
2
4
1
1 2
1
( ),
2
( ),
0;
45
3 5
ˆ
ˆ
4
q O q b
q O q q
4
2
ˆ
ˆ
1
,
2
,
.
2
2
q q
b
q
q
q
