В.В. Булатов, Ю.В. Владимиров
10
0
0
3
0
( , , , , )
1 exp( )
exp (
) ( , , , , )
.
(2 )
z z
i t dt
i x y W t x y z z dxdy
Функция
0
( , , , , )
z z
удовлетворяет уравнению
2
0
2 2
2 2
2
2
3
(
)
(
)
( )
(2 )
z z
f
k N z
z
,
и граничным условиям
0 ( 0,
),
z
H
где
2
2 2
.
k
Если приближение «твердой крышки» при
0
z
заменить при-
ближением свободной поверхности, то граничное условие
0
примет вид
2
2 2
(0)
(0).
gk
z
f
Решение будем искать в виде линейной комбинации собственных
функций
( , )
n
z k
граничной задачи
2
2
2
2
2
2
2
( , )
( )
( ) ( , ) 0,
( )
n
n
z k
N z
k
k
z k
z
k f
или при
,
n
(0) 0
n
2
2
2
(0)
(0).
( )
n
n
n
gk
z
k f
Эта задача имеет на отрезке [ , 0]
H
полную систему собствен-
ных функций
( , ),
n
z k
причем для этих функций выполняется усло-
вие ортогональности
0
2
2
(0) (0)
( ( )
) ( ) ( )
,
n
m
n
m
mn
H
g
N z f
z
z dz
где
mn
— символ Кронекера, и в приближении «твердой крышки»
внеинтегральный член исчезает. Чтобы выразить решение через соб-
ственные функции
( , ),
n
z k
заметим, что в силу полноты и ортонор-
мированности этих функций
