Стр. 29 - А.М. Андреев, Д.В. Березкин, Г.П. Можаров, Ил.С. Свирин - Математическое моделирование надежности компьютерных систем и сетей
Упрощенная HTML-версия
Выражение для корреляционного момента
K
[
X
i
; Δ
X
i
]
можно при-
вести к такому виду:
K
[
X
i
; Δ
X
i
] = (
−
a
j
K
i,j
−
λ
i
D
i
) Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
(56)
откуда
K
[
X
j
; Δ
X
j
] = (
−
a
i
K
i,j
−
λ
j
D
j
) Δ
t
+
o
(Δ
t
)
.
(57)
Проделав соответствующие преобразования, получим:
K
[
X
i
; Δ
X
j
] = (
−
a
i
D
i
−
λ
j
K
i,j
) Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
(58)
K
[
X
j
; Δ
X
i
] = (
−
a
j
D
j
−
λ
i
K
i,j
) Δ
t
+
o
(Δ
t
)
.
(59)
Теперь на основании формул (50)–(52), (54)–(59) можно обычным
путем получить систему пяти дифференциальных уравнений для всех
основных характеристик двух случайных функций
X
i
(
t
)
и
X
j
(
t
)
:
dm
i
(
t
)/
dt
=
λ
i
n
i
−
(
λ
i
+
μ
i
)
m
i
(
t
)
,
dm
j
(
t
)/
dt
=
λ
j
n
j
−
(
λ
j
+
μ
j
)
m
j
(
t
)
,
dD
i
(
t
)/
dt
=
λ
i
n
i
+ (
μ
i
−
λ
i
)
m
i
(
t
)
−
2
a
j
K
i,j
−
2
λ
i
D
i
(
t
)
,
dD
j
(
t
)/
dt
=
λ
j
n
j
+ (
μ
j
−
λ
j
)
m
j
(
t
)
−
2
a
i
K
i,j
−
2
λ
j
D
j
(
t
)
,
dK
i,j
(
t
)/
dt
=
−
a
i
D
i
(
t
)
−
a
j
D
j
(
t
)
−
(
λ
i
+
λ
j
)
K
i,j
(
t
)
.
Эта система дифференциальных уравнений была выведена при
условии, что
0
< X
i
(
t
)
6
n
i
и
0
< X
j
(
t
)
6
n
j
. Рассмотрим, к ка-
ким изменениям этих уравнений должно привести включение границ.
Отметим, что система дифференциальных уравнений для математи-
ческих ожиданий является замкнутой, поэтому ее можно рассмотреть
отдельно. Перепишем ее в следующем виде (см. (46), (47)):
dm
i
(
t
)/
dt
=
λ
i
(
n
i
−
m
i
(
t
))
−
a
j
m
j
(
t
)
,
dm
j
(
t
)/
dt
=
λ
j
(
n
j
−
m
j
(
t
))
−
a
i
m
i
(
t
)
.
(60)
Учет границы в данном случае сводится к тому, что член
a
j
m
j
(
t
)
в
первом уравнении (60) должен умножаться на вероятность того, что
процесс
X
i
(
t
)
не равен нулю. Эту вероятность приближенно можно
записать так:
P
(
X
i
(
t
)
>
0) =
P
i>
0
(
t
)
≈
1
−
e
−
m
i
(
t
)
.
(61)
При рассмотрении двух связанных процессов
X
i
(
t
)
и
X
j
(
t
)
при-
ближение (61) является более грубым, чем при рассмотрении од-
ного несвязанного процесса. Это объясняется тем, что вероятность
P
[
X
i
(
t
)
>
0] =
n
i
X
k
=1
n
j
X
l
=0
P
(
X
i
(
t
) =
k
) (
X
j
(
t
) =
l
)
зависит не только
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
31
