Стр. 31 - А.М. Андреев, Д.В. Березкин, Г.П. Можаров, Ил.С. Свирин - Математическое моделирование надежности компьютерных систем и сетей
Упрощенная HTML-версия
В предположении о нормальности системы случайных величин
X
i
(
t
)
и
X
j
(
t
)
вероятности
P
i>
0
(
t
)
и
P
j>
0
(
t
)
определяются по форму-
лам
P
i>
0
(
t
) =
∞
Z
0
∞
Z
−∞
f
t
(
x
i
, x
j
)
dx
j
dx
i
,
P
j>
0
(
t
) =
∞
Z
−∞
∞
Z
0
f
t
(
x
i
, x
j
)
dx
j
dx
i
.
Пример 1.
В качестве применения указанных формул найдем ха-
рактеристики двух связанных процессов чистой гибели при условии,
что
n
i
=
n
j
=
n
,
a
i
=
a
j
=
a
(
λ
i
=
λ
j
≡
0)
. В этом простом случае,
очевидно, должны выполняться равенства
m
i
(
t
) =
m
j
(
t
) =
m
(
t
)
и
D
i
(
t
) =
D
j
(
t
) =
D
(
t
)
.
Тогда систему (62) можно переписать так
dm
(
t
)/
dt
=
am
(
t
)
P
>
0
(
t
)
,
dD
(
t
)/
dt
= (
am
(
t
)
−
2
aK
i,j
(
t
))
P
>
0
(
t
)
,
dK
i,j
(
t
)/
dt
=
−
2
aD
(
t
)
P
>
0
(
t
)
.
Рассмотрим приближенное решение этих уравнений для неболь-
ших времен
t
, когда
P
>
0
(
t
)
≈
1
. В этом случае решение имеет вид
m
(
t
) =
ne
−
at
,
D
(
t
) = (
n
/6) [
e
2
at
−
3
e
−
2
at
+ 2
e
−
at
]
,
K
i,j
(
t
) = (
n
/6) [
e
2
at
+ 3
e
−
2
at
−
4
e
−
at
]
.
Найдем значение этих характеристик в момент времени, когда обе
стороны понесут в среднем потери, равные 50% первоначальной чи-
сленности
(
at
1
≈
0
,
7)
:
m
(
t
1
) =
n
/2 = 0
,
50
n
;
D
(
t
1
) = (
n
/6) [
e
1
,
4
−
3
e
−
1
,
4
+ 1] = 0
,
71
n
;
σ
(
t
1
) = 0
,
84
√
n
;
K
i,j
(
t
1
) =
−
(
n
/6) [3
∙
0
,
25
−
4
−
2] =
−
0
,
45
n
;
r
i,j
(
t
1
) =
−
0
,
66
.
Например, при
n
= 100
система случайных величин
X
i
(
t
)
и
X
j
(
t
)
имеет следующие характеристики:
m
i
(
t
1
) =
m
j
(
t
1
) = 50
;
σ
i
(
t
1
) =
=
σ
j
(
t
1
) = 8
,
4
;
r
ij
(
t
1
) =
−
0
,
66
.
Найдем вероятность того, что в момент времени
t
1
у
j
-й сторо-
ны будет не менее
1
,
2
m
j
= 60
единиц, а у
i
-й стороны — не более
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
33
