Стр. 8 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой
Упрощенная HTML-версия
178
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
1
1 ( )
( ; )
.
2
i Z
p Z
g t e d
λ
λ
λ
π
∞
−
−∞
=
∫
(32)
Получим
2
2
2
1
( )
exp
,
2 ( )
2 ( )
Z
p Z
t
t
σ
πσ
⎛
⎞
=
−⎜
⎟
⎝
⎠
(33)
что соответствует нормальному распределению Гаусса. Из выраже-
ния (31) видно, что дисперсия величины
Z
(
t
) растет с течением вре-
мени, из чего следует «размывание» плотности вероятности
p
(
Z
) при
увеличении
t
.
Найдем теперь спектральные плотности флуктуаций величины
Z
(
t
), температуры поверхности
T
R
(
t
) и теплового потока
q
T
(
t
). Для это-
го проведем преобразование Лапласа исходного интегрального урав-
нения (18). Имеем
(34)
где символами со «шляпкой» обозначены образы соответствующих
функций,
p
– фурье-образ переменной
t
.
С помощью определения спектральной плотности установившего-
ся случайного процесса (при
t
= ∞), согласно которому
(35)
а также при учете того факта, что спектральная плотность белого
шума равна его интенсивности, для спектральной плотности флукту-
аций
Z
(
t
) получим
2
2 2 2
2
2
3/2
1/2
2
( )
.
2
2
9
3
Z
V
V
G
c R
c R
R
R
ω
ω
ν
ω
κ
κ
κ
κ
ω
ω
ω
χ
χ
χ
=
+
+ +
+
(36)
Из выражения (36), используя (17) и формулу (5), находим спек-
тральные плотности флуктуаций
T
R
(
t
) и
q
T
(
t
):
2 2 2
2
2
3/2
1/2
2
1
( )
,
2
2
9
3
R
T
V
V
G
c R
c R
R
R
ω
ν
ω
κ
κ
κ
κ
ω
ω
ω
χ
χ
χ
=
+
+ +
+
(37)
