Стр. 7 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой
Упрощенная HTML-версия
177
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
где
1
3
.
( / 2)
n
n
V
n c R
κ
α
χ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
Γ ⎝
⎠
(26)
В последнем выражении
Γ
(
x
) – гамма-функция.
Статистические характеристики.
С помощью метода, изложен-
ного в работе [9], для одномерной
g
1
(
λ
;
t
) и многомерной
g
L
(
λ
1
, …,
λ
L
;
t
1
, …,
t
L
) характеристических функций случайного процесса
Z
(
t
) спра-
ведливы соотношения
2
2
1
2 2
0
9
( ; ) exp
(
) ,
2
t
V
g t
K t
d
c R
νλ
λ
τ
τ
⎡
⎤
= −
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(27)
1
1
2 2
, 1,
0
( ,..., ; ,..., )
9
exp
(
) (
) .
k
L
L
L
t
L
l k
l
k
l k
V
k l
g
t
t
K t
K t
d
c R
λ
λ
ν
λ λ
τ
τ
τ
=
≤
=
⎡
⎤
⎢
⎥
= −
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∑ ∫
(28)
Следует заметить, что в полученных выражениях (20), (27), (28),
а также в последующих, предел интегрирования по времени ограни-
чен фактически не значением
t
, а величиной
t
–
δt
, где
δt
– малый
параметр, близкий к времени свободного пробега частиц среды. Это
вызвано отсутствием физического влияния на флуктуации рассматри-
ваемых величин тех процессов, которые происходят при
t
–
τ
<
δt
.
Найденные формулы (27) и (28) позволяют определить моменты
любого порядка для процесса
Z
(
t
). В частности, для математическо-
го ожидания
〈
Z
(
t
)
〉
, момента второго порядка
〈
Z
(
t
1
)
Z
(
t
2
)
〉
и дисперсии
σ
2
(
t
) =
〈
Z
2
(
t
)
〉
, получим
1
0
( ; )
( )
0,
g t
Z t
i
λ
λ
λ
=
∂
=
=
∂
(29)
1
2
1
2
2 1 2 1 2
1
2
0,
1 2
0
2
1
2 2
0
( , ; , )
( ) ( )
9
(
) (
) ,
t
V
g
t t
Z t Z t
i i
K t
K t
d
c R
λ
λ
λ λ
λ λ
ν
τ
τ
τ
=
=
∂
=
=
∂ ∂
=
−
−
∫
(30)
2
2
2
2 2
0
9
( )
( )
( ) ( )
(
) .
t
V
t
Z t
Z t Z t
K t
d
c R
ν
σ
τ
τ
=
=
=
−
∫
(31)
Уравнение (27) позволяет найти также одномерную плотность ве-
роятности
p
(
Z
) флуктуаций величины
Z
(
t
) с помощью определения [1]
