181
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
2
2
( , )
( , ) 1 ( , ) .
T r t
T r t
T r t
t
r
r r
χ
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
(40)
Начальныеиграничныеусловия задаютсясоответственновыражениями
0
( , )
0,
t
T r t
=
=
(41)
( , )
( ).
R
r R
T r t
T t
=
=
(42)
Тепловой поток через поверхность цилиндрического тела
q
T
(
t
)
определяется общим соотношением
( , )
( )
( ),
T
T
q
r R
T r t
q t
t
r
κ
ξ
=
∂
= −
+
∂
(43)
где функция
ξ
q
T
(
t
) представляет собой случайный тепловой поток,
обусловленный указанными ранее причинами, статистические свой-
ства которого определяются характером источника флуктуаций. Также
он может быть определен согласно уравнению
( )
( )
.
2
V
R
T
C R dT t
q t
dt
= −
(44)
Следует отметить, что выражение (44) справедливо для случая
предполагаемого нами наличия высокой тепловой проводимости ма-
териала цилиндра по сравнению с проводимостью среды, т. е. при ус-
ловии
χ
<<
χ
c
.
Функция
ξ
q
T
(
t
) во многих случаях может быть представлена в виде
белого шума с интенсивностью
ν
, ограниченного сверху некоторой
предельной частотой
ω
max
, которую с точностью до постоянной мож-
но оценить с помощью формулы
с
max
2
.
R
χ
ω
∼
(45)
Для оценки величины
ω
max
будем считать цилиндр изготовлен-
ным из меди (для которой коэффициент температуропроводности
χ
c
= 10
–4
м
2
/с) и имеющим радиус
R
= 10 мкм. Получим, что
ω
max
∼
10
6
с
–1
.
Таким образом, белый шум, характерный для флуктуаций теплового
потока через цилиндрическую поверхность, оказывается широкопо-
лосным по спектру.
Можно также оценить величину интенсивности
ν
сверху. Дей-
ствительно, если
ε
=
kT
0
/2 – энергия частицы среды, приходящаяся на
одну кинетическую степень свободы,
3
/
l
m
ρ
=
– среднее расстояние
1...,2,3,4,5,6,7,8,9,10 12,13,14,15,16,17,18,19