172
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
Постановка задачи (случай микрочастицы).
Рассмотрим не-
подвижную сферическую частицу с радиусом
R
, температуропро-
водностью
χ
м
и объемной теплоемкостью
c
V
, в центр которой поме-
стим начало сферической системы координат (рис. 1). Температуру
поверхности частицы будем считать некоторой функцией времени
T
R
(
t
). Среду вне сферической частицы (при
r
>
R
) считаем однород-
ной с постоянными параметрами: плотностью
ρ
, теплопроводностью
κ
и температуропроводностью
χ
, причем
χ << χ
м
. Начальная темпе-
ратура во всем пространстве равна некоторой постоянной величине
T
0
. Изменением радиуса сферической частицы вследствие изменения
температуры пренебрегаем. Ясно, что в рассматриваемом случае тем-
пература среды будет зависеть только от расстояния до центра сферы
r
и времени
t
. Уравнение теплопроводности тогда примет вид
2
2
( , )
( ( , )) , (
)
T r t
rT r t
r R
t
r
r
χ
∂
∂
=
>
∂
∂
(1)
с соответствующими граничным и начальным условиями
( , )
( ),
R
r R
T r t
T t
=
=
(2)
0
0
( , )
.
t
T r t
T
=
=
(3)
Для потока тепла
q
T
(
t
) через поверхность сферической оболочки
радиуса
R
справедливо общее соотношение
( , )
( )
.
T
r R
T r t
q t
r
κ
=
∂
= −
∂
(4)
Однако тот же поток
q
T
(
t
) при учете его флуктуаций через по-
верхность оболочки радиуса
R
может быть определен с помощью
выражения
Рис. 1. Теплопроводность в среде вокруг сферической частицы
1 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...19