Стр. 14 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой

184 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
такой оболочки CS, то вместо величины 2V C R
в (55) следует подста-
вить значение CS, что и приводит к рассмотренному в [11] интеграль-
ному уравнению, описывающему теплопроводность в полупростран-
стве, ограниченном плоской поверхностью.
Отметим также, что в том случае, если основным источником те-
плопроводности является теплоперенос, то верхний предел интегри-
рования в уравнении (51) следует считать равным t – δt, где δt – малый
параметр по порядку величины равный времени свободного движе-
ния частиц теплопроводящей среды.
Случай белого шума флуктуаций теплового потока через ци-
линдрическую поверхность малого радиуса. Рассмотрим теплопро-
водность в среде, окружающей цилиндрическую оболочку, в случае,
когда параметр
2
1, R
χ
<< что, как видно из выражения (45), соответ-
ствует случаю очень большой граничной частоты спектра флуктуа-
ций теплового потока через цилиндрическую поверхность (белый
шум). Положив также t – τ > δt, после разложения модифицированных
функций Бесселя и экспоненты в ряд и удержания первых слагаемых
разложения, получим
2
2
0
1 2
( ) ( ) ( ).
4 ( ) T
t
q
V
R Z t Z d t
t C R
τ τ ξ
χ τ
− =
− ∫ (56)
Решение интегрального уравнения Вольтерры второго рода (56)
в общем случае [7] можно записать в виде
[ ]
0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,T
t
q
V
Z t t F t d
C R
δ τ τ ξ τ τ = − + − ∫ (57)
где резольвента F(t – τ) определяется реккурентным соотношением
1
( ) ( ).
n
n
F t F t τ τ
∞
=
− = − ∑ (58)
Здесь
2
1 2
1
( ) ,
4 ( )
R
F t t
τ
χ τ
− =
− (59)
1 1 ( ) ( ) ( ) , 1.
t t
n n
t
F t F t s F s ds n
δ
τ δ
τ τ
−
−
+
− = − − > ∫ (60)