175
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
времени, имеющее вид интегрального уравнения Вольтерры второго
рода:
0
3
1
( )
( )
( ).
T
t
q
V
Z t
Z d
t
R
c R
t
πχ
κ
τ
τ
ξ
πχ
τ
⎛
⎞
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
− ⎝
⎠
∫
(18)
Полученное уравнение (18), ядро которого представляет собой
сумму слагаемого абелевого типа и постоянной величины, не может
быть сведено к конечной системе стохастических дифференциальных
уравнений [5]. Таким образом, случайные процессы
Z
(
t
) и
q
T
(
t
), а так-
же флуктуации температуры
T
R
(
t
), представляющей собой интеграл
по времени от функции
Z
(
t
), являются немарковскими [6].
Отметим, что уравнение, аналогичное (18), получено при описа-
нии броуновского движения сферической частицы в вязкой среде при
учете увлечения ею окружающих частиц среды [2].
Заметим также, что выражение (18) справедливо при описании
одномерного процесса теплопроводности в полупространстве над по-
верхностью плоского слоя конечной толщины. Действительно, рас-
смотрим сферическую оболочку радиуса
R
и толщины
h
, такой, что
h
<<
R
. Теплоемкость
С
такой оболочки определяется равенством
C =
c
V
4
πR
2
h
. Вводя величину
2
,
4
S
V
C с
c h
R
π
=
=
представляющую те-
плоемкость оболочки, отнесеннуюк единице площади ее поверхности,
вместо формулы (5) получим равенство
2
2
4
( )
( )
4
V
R
T
с R h dT t
q t
R dt
π
π
= −
+
( )
( )
( ).
T
T
R
q
S
q
dT t
t
c
t
dt
ξ
ξ
+ = −
+
Тогда для интегрального стохастическо-
го уравнения, описывающего процесс распространения тепла в среде,
ограниченной бесконечным плоским слоем, вместо соотношения (18)
получим выражение
0
1
( )
( )
( ),
T
t
q
S
Z t
Z d
t
с
t
κ
τ
τ
ξ
πχ
τ
+
=
−
∫
(19)
где
c
S
– теплоемкость единицы площади рассматриваемого плоского
слоя.
Общий вид решения (18) можно представить с помощью интег-
рального оператора
0
( )
( )
(
) ( ) ,
T
T
t
q
q
Z t
t
K t
d
ξ
τ ξ
τ
τ
= + −
∫
(20)
где
K
(
t
–
τ
) – резольвента для уравнения (18), которая может быть за-
писана с помощью бесконечного ряда [7]:
1,2,3,4 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...19