Стр. 4 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой

174 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
деления температуры (и не зависит от соответствующих изменений
температуры на границах), второе – обязано присутствием граничных
функций температур или потоков. Из физических соображений ясно,
что в рассматриваемой задаче, ввиду наличия термодинамического
равновесия в начальный момент времени, неслучайная составляющая
потока тепла через границу среды, вызванная начальным распределе-
нием температуры, будет иметь нулевое значение. Имея это в виду,
решение задачи (9) – (11) запишем с помощью выражения
2
3/2
0
( )
( , ) exp ( ) .
( ) 4 ( ) 2
t
R
R r R r R
f r t T d
t t
τ τ
τ χ τ πχ
⎡ ⎤ − −
= −⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦ ∫ (12)
Для получения уравнения, определяющего величину теплового
потока qT (t), воспользуемся соотношением, следующим из (4) и (8):
( , ) ( ) ( ),
T R
r R
f r t R q t T t
r κ
=
∂ = − +
∂ (13)
где производную ( , ) f r t
r
∂
∂ определим из формулы (12). Получим
2 2
3/2 5/2
0
( , ) 1 2( ) ( )
exp ( ) .
( ) 4 ( ) 4 ( ) 2
t
R
f r t R r R r R T d
r t t t
τ τ
τ χ τ χ τ πχ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ − −
= − −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∂ − − −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫
(14)
Интегрирование по частям позволяет записать последнее выражение
в виде
2
0
( ) ( , ) 1 ( )
exp .
4 ( )
t
R dT f r t R r R d
r t d t
τ τ
χ τ τ πχ τ
⎡ ⎤ ∂ −
= − −⎢ ⎥
∂ − − ⎣ ⎦ ∫ (15)
Нахождение из формулы (15) величины ( , )
r R
f r t
r =
∂
∂ и ее подстановка
в (13) приводит к следующему соотношению:
0
( ) 1
( ) .
t
R
T
dT
q t d
R d t
πχ τ κ τ
τ πχ τ
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎝ ⎠ ∫ (16)
Введем замены
( ) 3
( ) , T T
R
q q
V
dT t
Z t dt c R
ξ ξ = = (17)
и воспользуемся выражением (5), получим искомое соотношение,
связывающее случайный тепловой поток ξqT (t) через границу сфери-
ческой оболочки и производную температуры TR(t ) на поверхности по