Стр. 12 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой

182 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
между частицами, / t l m δ ε = – характерное время, по порядку вели-
чины равное времени свободного движения, где m и ρ – масса частиц
среды и ее плотность, k – постоянная Больцмана, то значение ν сверху
определяется формулой
2
4 .
l t
ε
ν
δ
∼ (46)
При температуре T0 = 300 K для меди оценка, представленная в вы-
ражении (46), приводит к величине интенсивности ν ∼ 103 Дж 2/(м4· с).
Стохастическое интегральное уравнение. Можно показать, что
если в некоторый момент времени τ на каждой единице длины рас-
сматриваемой цилиндрической поверхности мгновенно выделилось
тепло Q(τ ), то температуру среды при r > R в момент времени t можно
определить с помощью выражения [4]
( , ) ( ) ( , , ), T r t Q G r R t χ τ τ
κ
= − (47)
где G(r, R, t – τ) – функция влияния мгновенного цилиндрического ис-
точника тепла (функция Грина), определяемая согласно следующей
формуле:
2 2
0
1
( , , ) exp ,
4 ( ) 4 ( ) 2 ( )
r R Rr
G r R t I
t t t
τ
πχ τ χ τ χ τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +
− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − − ⎝⎠ ⎝ ⎠
(48)
где I0(x ) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
Отметим, что Q(τ)δ(t – τ ) = 2πRqT (t ). Тогда в случае произвольного
теплового потока через поверхность цилиндра qT (t), температура на
расстоянии r от оси симметрии цилиндра будет определяться с по-
мощью интеграла
2 2
0
0
( )
( , ) exp .
2 4 ( ) 2 ( )
t
T R q r R Rr
T r t I d
t t t
τ τ
κ τ χ τ χ τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∫ (49)
Найдем производную ( , ) , T r t
r
∂
∂
воспользовавшись выражением
(49) и тем, что 0
1
( ) ( ). I z I z
z
∂ =
∂
Получим
2 2
2
0
1 0
( , ) ( ) exp
4 ( ) 4 ( )
.
2 ( ) 2 ( )
t
T T r t R q r R
r t t
Rr Rr
RI rI d
t t
τ
χκ τ χ τ
τ
χ τ χ τ
⎛ ⎞ ∂ +
= − ×
⎜ ⎟
∂ − −
⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× −
⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∫
(50)