185
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
Указанное выше условие
2
1
R
χ
<<
делает ряд (58) быстросходя-
щимся. При условии
2
R t
δ
χ
<<
(цилиндрические поверхности мало-
го радиуса, или тонкие нити), вторым и последующими слагаемыми
ряда (58) можно пренебречь по сравнению с первым, и окончательно
получим
2
2
1
(
)
.
4 (
)
R
F t
t
τ
χ
τ
− =
−
(61)
Статистические характеристики.
Исходное интегральное урав-
нение (57) для случая резольвенты
F
(
t
–
τ
) вида (61) позволяет найти
любые статистические характеристики процесса
Z
(
t
), если восполь-
зоваться разработанным в [9] методом описания немарковских слу-
чайных процессов, задаваемых линейными интегральными преобра-
зованиями. Так, для одномерной
g
1
(
λ
;
t
) и многомерных
g
L
(
λ
1
, …,
λ
L
;
t
1
, …,
t
L
) характеристических функций процесса
Z
(
t
) при условии, что
случайный тепловой поток
ξ
q
T
(
t
) представляет собой белый шум ин-
тенсивности
ν
, получим
2 2
1
2 2
3
3
1
1 1
( ; ) exp
,
24
V
R
g t
C t
t
νλ
λ
χ
δ
⎡
⎤
⎛
⎞
= −
− ⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
(62)
1
1
2
2 2
2 2
2
, 1,
( ,..., ; ,..., )
1
1
2
exp
ln
.
24
(
)
(
)
(
)
L
L
L
L
l k
k
l
l k
l
k l
V
l
k
l k l
k
l
k
k l
k
k l
g
t
t
R
t t t t
t t
C t t
t t t t t
t t
t t t
λ
λ
ν
λ λ
δ
χ
δ
=
<
=
⎡
⎤
⎡
⎤
− +
⎢
⎥
= −
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
(63)
Графики функций
g
1
(
λ
;
t
), задаваемых уравнением (62), изображе-
ны на рис. 6 для разных значений
t
. Здесь и далее в качестве при-
меров использованы медные цилиндрические тела малого радиуса,
помещенные в воду (
R
= 10
–8
м,
ν
= 10
3
Дж
2
/(м
4
· с),
χ
= 2 . 10
–7
м
2
/с,
C
V
= 1,3 . 10
3
Дж/(К·м
3
)).
Выражения для характеристических функций (62) и (63) позволя-
ют найти любые статистические характеристики процесса
Z
(
t
). Для
математического ожидания
〈
Z
(
t
)
〉
и дисперсии
D
Z
(
t
) процесса
Z
(
t
) из
(62) получим
1
0
( ; )
( )
0,
g t
Z t
i
λ
λ
λ
=
∂
=
=
∂
(64)
1...,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 16,17,18,19