Стр. 3 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой
Упрощенная HTML-версия
173
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
( )
( )
( ),
3
T
V
R
T
q
с R dT t
q t
t
dt
ξ
= −
+
(5)
где
ξ
q
T
(
t
) – случайный тепловой поток (источник Ланжевена), свой-
ства которого зависят от характера источника флуктуаций, причем
〈
ξ
q
T
(
t
)
〉
= 0. Отметим, что соотношение (5) справедливо для случая
предполагаемой нами высокой тепловой проводимости частицы.
Во многих случаях можно считать, что поток
ξ
q
T
(
t
) представляет
собой белый шум с интенсивностью
ν
. Граничную частоту
ω
гр
такого
шума можно оценить с помощью характеризующих задачу параме-
тров: радиуса частицы
R
и коэффициента температуропроводности
материала частицы
χ
м
, согласно
м
гр
2
.
R
χ
ω
∼
(6)
Для медной частицы с коэффициентом температуропроводности
χ
м
=10
–4
м
2
/с и радиусом 10 мкм для величины
ω
гр
получим значение
порядка 10
6
с
–1
.
Величину интенсивности
ν
случайного теплового потока можно
оценить по формуле
2
3
,
B
k T
R
κ
ν
∼
(7)
где
k
B
– постоянная Больцмана. Для рассматриваемой выше частицы,
помещенной в воду, получим оценку ν
∼
10
–3
Дж
2
/м
4
с.
Стохастическое интегральное уравнение.
Решение поставлен-
ной задачи (1) – (3) будем искать с помощью введения вспомогатель-
ной функции
f
(
r
,
t
), определяемой согласно
f
(
r
,
t
) =
rT
(
r
,
t
).
(8)
В этом случае уравнения (1) – (3) запишем в виде
2
2
( , )
( , ) (
),
f r t
f r t
r R
t
r
χ
∂
∂
=
>
∂
∂
(9)
( , )
( ),
R
r R
f r t
RT t
=
=
(10)
0
0
( , )
.
t
f r t
T r
=
=
(11)
Последние выражения формально соответствуют одномерному
уравнению теплопроводности для величины
f
(
r
,
t
). Решение подобно-
го рода задач представляет собой, как известно [4], сумму двух слага-
емых. Первое слагаемое связано с наличием первоначального распре-
