Стр. 13 - А.Н. Морозов, А.В. Скрипкин - Описание процесса теплопроводности в средах с микроструктурой

183
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
Из полученного соотношения (50), при учете формул (43) и (44),
находим
0
( ) ( ) ( ),
2 T
t
V
q
C R K t Z d t τ τ τ ξ − = ∫ (51)
где введены обозначения для скорости изменения температуры по-
верхности цилиндра
( )
( ) R dT t
Z t
dt
= (52)
и ядра интегрального уравнения (51)
2 2
2
2 2
1 0
( ) ( ) exp
4 ( ) 2 ( )
.
2 ( ) 2 ( )
R R
K t t t t
R R
I I
t t
τ δ τ
χ τ χ τ
χ τ χ τ
⎛ ⎞
− = − + − ×
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× −
⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(53)
Таким образом, процесс распространения тепла в пространстве,
окружающем цилиндрическую поверхность радиуса R, при наличии
случайного теплового потока через нее, описывается стохастическим
интегральным уравнением Вольтерры второго рода (51), что означа-
ет немарковский характер флуктуаций величины Z(t ), следовательно,
и флуктуаций температуры поверхности цилиндра TR(t) и потока qT(t).
Заметим, что при больших значениях радиуса R выражение (53)
может быть записано с помощью приближенной формулы [10]
( ) ( ) ,
( )
K t t
R t
χ
τ δ τ
π τ
− = − +
−
(54)
при подстановке которой в уравнение (51) вместо соотношения (53)
получим интегральное уравнение вида
0
1
( ) ( ) ( ),
2 T
t
V
q
C R Z t Z d t
t
κ τ τ ξ
πχ τ
+ =
− ∫ (55)
представленное в [11] применительно к явлению теплопроводно-
сти в полупространстве над плоской поверхностью. Действитель-
но, рассмотрим цилиндрическую оболочку радиуса R и толщины h,
такой, что h << R. Тогда взамен уравнения (5) получим выражение
( )
( ) ( ).
T
R
T V q
dT t
q t C h t
dt
ξ = − + Принимая во внимание то, что произве-
дение CVh представляет собой теплоемкость единицы поверхности