15
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
няется расчетом гладких решений, где разрывы заменяются узкими
переходными зонами и вводится малый параметр, определяющий ши-
рину этой зоны. При стремлении этого параметра к нулю ширина
зоны перехода тоже стремится к нулю, и получается разрывное реше-
ние. В качестве малого параметра вводится температура полного пере-
хода в твердую фазу
u
z
, отличная от нуля. Энтальпия на участке
u
z
<
u
< 0 — линейная функция от температуры. Такой подход позволя-
ет избежать возможных проблем с устойчивостью расчета, связанных
с существованием решений интегральных уравнений.
Общие требования к конечно-разностным численным схемам.
После разложения величин в расчетных ячейках в ряд Тейлора относи-
тельно некоторого расчетного узла сетки и подстановки их в исходное
уравнение должна выполняться аппроксимация этого уравнения. По-
рядок остатка от такой подстановки — порядок аппроксимации схемы.
Ошибки расчета не должны нарастать с течением времени, что прове-
ряется с использованием спектрального признака или эксперименталь-
но. При измельчении шагов сетки численное решение в пределе, как
правило, дает точное решение исходных уравнений. Для линейных
уравнений доказано [2, 7], что при выполнении устойчивости и аппрок-
симации сходимость достигается. В нелинейных задачах, к которым
относятся задачи с фазовыми переходами, сходимость обычно прове-
ряется экспериментально путем измельчения сетки и сравнения резуль-
татов с известными решениями.
При исследовании задач, содержащих разрывы [7, 11] (в данном
случае это фронты перехода фаз и скачки коэффициента теплопровод-
ности), необходимо пользоваться консервативными схемами, т. е. при
выводе схем рекомендуется использовать интегральные законы сохра-
нения (в данном случае это уравнение (1)). При расчетах задач с раз-
рывами и большими градиентами значимо свойство монотонности чис-
ленной схемы. Оно означает, что схема не создает максимумов и мини-
мумов, не имеющихся в точном решении. В немонотонной схеме при
наличии разрывов и больших градиентов возникает эффект «пилы»,
образования множества максимумов и минимумов, приводящего к су-
щественному снижению точности расчета или даже к потере устойчи-
вости из-за переполнения.
В численной схеме, используемой в программном комплексе, учте-
ны факторы, описанные в данном разделе.
Анализ алгоритмов и методов, численная схема.
Рассмотрим
консервативную численную схему [12, 13]. Расчетная ячейка имеет вид
параллелепипеда. Узлы сетки, соответствующие его вершинам, обо-
значаются целыми числами. Значения температуры, коэффициентов
