16
Н.И. Сидняев, Ю.С. Ильина, Д.А. Крылов
теплопроводности, теплоемкости относятся к серединам расчетных
ячеек, эти узлы обозначаются полуцелыми индексами. В них задаются
координаты
x
i
,
y
i
,
z
i
, шаги сетки
h
xi
+1/2
=
x
i
+1
–
x
i
,
h
yj
+1/2
=
y
j
+1
–
y
i
,
h
zk
+1/2
=
z
k
+1
–
z
k
. После применения уравнения (1) к расчетной ячейке
получается соотношение:
1
1/2 1/2 1/2
1/2, 1/2, 1/2
1/2, 1/2, 1/2
1/2 1/2 1, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2
1/2 1/2 1/2, 1, 1/2
1/2, , 1/2
1/2 1/2 1/2, 1/2, 1
(
)
{[
(
)
(
)
(
n
n
xi
yj
zk
i
j
k
i
j
k
yj
zk
i
j
k
i j
k
yj
zk
i
j k
i
j k
xi
yj
i
j
k
i
h h h H
H
h h q
q
h h q
q
h h q
q
1/2, 1/2,
1/2 1/2 1/2 1/2, 1/2, 1/2
)]
}
j
k
xi
yj
zk
i
j
k
h h h F
(19)
После деления на
h
xi
h
yi
h
zi
τ получаем шаблон для численных схем:
1
1/2, 1/2, 1/2
1/2, 1/2, 1/2
1, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2
1/2
1/2, 1, 1/2
1/2, , 1/2
1/2
1/2, 1/2, 1
1/2, 1/2,
1/2
1/2, 1/2, 1/2
(
) /
[(
) /
(
) /
(
) /
]
.
n
n
i
j
k
i
j
k
i
j
k
i j
k
x i
i
j k
i
j k
yj
i
j
k
i
j
k
zk
i
j
k
H
H
t
q
q
h
q
q
h
q
q
h
F
(20)
Здесь приведена разностная схема для неоднородной сетки, реализо-
ванная в программном комплексе. Расчет ведется в два этапа: сначала
вычисляются потоки, а затем рассчитывается энтальпия, что удобно при
постановке второго и третьего граничных условий. Различные консер-
вативные численные методы отличаются один от другого различными
способами вычисления потока
q
. Потоки вычисляются путем аппрок-
симации закона Фурье:
, 1/2, 1/2
, 1/2, 1/2 1/2, 1/2, 1/2
1/2, 1/2, 1/2
1/2
1/2
(
) / ,
(
) / 2.
i j
k
i j
k
i
j
k
i
j
k
i
i
i
i
q
u
u
h h
h h
(21)
Здесь в качестве примера приводится аппроксимация потока только
в направлении оси
x
, остальные потоки аппроксимируются аналогично.
Если используются значения температуры с нижнего слоя, то полу-
чается чисто явная схема, которая используется в применяемом про-
граммном комплексе, если с верхнего слоя — то чисто неявная. Явные
схемы требуют выполнения условия устойчивости, которое выявляется
с применением спектрального признака, а также экспериментально.
В случае уравнения теплопроводности с единичными коэффициентами
