12
Н.И. Сидняев, Ю.С. Ильина, Д.А. Крылов
2
2
1
( , )
( ,
) ( , ) ,
( , )
(
,
) 2 ( ,
) (
,
)
(1 ) (
, ) 2 ( , ) (
, ) ,
t
xx
u x t
u x t k u x t
k
u x t
u x h t k u x t k u x h t k
h
u x h t
u x t u x h t
h
где λ выбирается из отрезка [0, 1]. Отметим, что
u
xx
аппроксимируется
взвешенным средним центральных разностных производных в момент
t
и
t
+
k
. При λ = 0,5 получается обычное среднее этих двух центральных
производных, а при λ = 0,75 одна из разностных производных берется
с весом 0,75, вторая — с весом 0,25. При λ = 0 получается обычная
явная схема.
После замены частных производных
u
t
и
u
xx
в задаче (15) получаем
разностную задачу.
Разностное уравнение
1,
,
1, 1
1,
1, 1
, 1
,
, 1
2
2
,1
,
1,
1 (
)
(1 )
(
2
)
(
2
),
0,
( )
1, 2, ..., ,
0,
( )
1,
2, ...,
1.
i
j
i j
i
j
i
j
i
j
i j
i j
i j
i
i n
j
u u
k
u
u u
u
u u
h
h
u
i
m
u
u
j
n
ÃÓ
ÍÓ
(16)
Перенесем все неизвестные значения
u
верхнего временного слоя
(с индексом
i
+ 1) в левую часть уравнения (16) и получим
1, 1
1,
1, 1
, 1
,
, 1
(1 2 )
(1 )
1 2 (1 )
(1 )
,
i
j
i
j
i
j
i j
i j
i j
ru
r u
ru
r
u
r
u r
u
(17)
где введено обозначение
r
=
k
/
h
2
. Отметим, что если
i
фиксирован, а
j
изменяется от 2 до
n
– 1, соотношения (17) определяют систему
n
– 2
уравнений с
n
– 2 неизвестными
u
i+
1,2
,
u
i+
1,3
,
u
i+
1,4
, ...,
u
i+
1,
n
–1
, которые
являются решением задачи во внутренних узлах сетки на временном
слое
t
= (
i
+ 1)∆
t.
Наглядное представление о структуре каждого урав-
нения системы (17) дает рис. 7.
Перейдем к решению системы (17).
