Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных материалах - page 13

13
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
Рис. 7. Шаблон для неявной схемы
Шаг 1. Выбираем некоторое значение λ(0 ≤ λ ≤ 1). Если λ = 0, то
уравнения (17) переходят в явные формулы из предыдущего раздела.
Шаг 2. Пусть, например, h = ∆x = 0,2 и k = ∆t = 0,08 (при этом r =
= k/h2 = 2). В данном случае сетка содержит шесть узлов вдоль оси x
(четыре внутренних узла). Возьмем весовой параметр λ = 0,5 (получа-
ющаяся при этом схема называется схемой Кранка — Николсон). В
соответствии с вычислительным шаблоном на рис. 7, двигаясь слева
направо (j = 2, 3, 4, 5) по первым двум слоям (i = 1), получаем следую-
щие четыре уравнения:
21 22 23 11 12 13
22 23 24 12 13 14
23 24 25 14 15 16
24 25 26 14 15 16
3 1,
3 1,
3 1,
3 1.
u u u u u u
u u u u u u
u u u u u u
u u u u u u
      
      
      
      
Перепишем их в матричной форме:
22
23
24
25
3 1 0 0 1
1 3 1 0 1 .
0 1 3 1 1
0 0 1 3 1
u
u
u
u
      
     
 
      
       
     

     
(18)
Матрица этой системы называется трехдиагональной. Для того что-
бы решить трехдиагональную систему
1 1 1 1
2 2 1 2 2
3 3 2 3 3
1
0 0 0
0 0
, 0 0
0 0 0 n n n n
x d b c
x d a b c
x d a b c
x d a b
     
     
     
      
     
     
          



    
