5
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
ми переходами связаны выделение и поглощение большого количества
теплоты, которые существенно влияют на температурное поле рассма-
триваемой среды и ее динамику.
На границах расчетного объема могут быть заданы граничные
условия первого, второго или третьего типов. Кроме того, будем рас-
сматривать наноматериалы с внедренными в них нанотрубками, кото-
рые будут позиционироваться как дополнительные источники (стоки)
теплоты.
Базовые уравнения и постановка задачи. Основные уравнения.
Базовым уравнением для разработки методов прогноза процессов рас-
пределения температурных полей является уравнение баланса теплоты
в интегральной форме [8]:
.
V
V
Hdv
qn d
Fdv
t
(1)
Здесь
V
— контрольный объем; Σ — окружающая его поверхность;
t
— время;
H
=
H
(
u
) — энтальпия (внутренняя энергия) на единицу
объема;
u
— температура;
q
— вектор потока тепла;
n
— внешняя
нормаль к рассматриваемому объему;
F
— приток теплоты на единицу
объема. В грунте поток теплоты
q
определяется по закону Фурье:
grad
q
u
, (2)
где λ — коэффициент теплопроводности. Фазовые переходы и скачки
коэффициентов теплопроводности на границах наноматериалов раз-
личных типов или элементов строительных конструкций порождают
разрывы в решениях. При отсутствии таких разрывов на основе урав-
нений (1) и (2) выводится уравнение распространения теплоты в диф-
ференциальной форме:
(
)
(
)
(
) ( , , )
v
c u
u
u
u F x y z
t
x x
y y
z z
, (3)
где
c
v
= ρ
c
— объемный коэффициент теплопроводности;
c
— удельная
теплоемкость; ρ — плотность; λ — коэффициент теплопроводности,
u
(
x
,
y
,
z
,
t
) — температура среды. Здесь считается, что в случае наличия
фазового перехода, где энтальпия терпит скачок, объемный коэффици-
ент теплопроводности имеет вид
