17
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
и одинаковыми шагами по всем пространственным переменным для
явной схемы — это условие τ ≤ 0,5(
h
x
2
+
h
y
2
+
h
z
2
) /3.
Неявные схемы более устойчивы, а чисто неявная двухслойная схе-
ма абсолютно устойчива. Неявные схемы требуют специальных алго-
ритмов для решения неявных уравнений [2, 10]. При их программной
реализации решаются системы неявных уравнений с помощью итера-
ционных алгоритмов, которые нередко сводятся к решению уравнения
переноса тепла с использованием явных схем. При применении равно-
мерных сеток это обычно не оправдано из-за большого расхода машин-
ного времени, сопоставимого с расчетами с применением явных схем
с мелким шагом. Расчеты по явным схемам за счет мелкого шага ока-
зываются более точными. Введение неявности затрудняет модифика-
цию программ и включение в них различных дополнительных блоков.
Но при наличии в расчете областей с существенно различающимися
значениями теплопроводности и теплоемкости или в случае неравно-
мерных сеток при наличии областей с существенно отличными про-
странственными шагами применение неявных схем становится целе-
сообразным.
В классе неявных схем существует схема второго порядка точности
по времени, где значения температур берутся как полусумма от значе-
ний на верхнем и нижнем слоях. Такая схема немонотонна, и от ее при-
менения в ходе создания программного комплекса отказались. По этой
же причине отклоняется явная трехслойная схема Дюфорта — Франке-
ля (ромб), где временная разность берется по значениям через два слоя,
а при вычислении потоков значения температуры в центральной точке
вычисляются как полусумма между нижним и верхнем слоями [2, 7].
Эта схема абсолютно устойчива, но требует мелкого временного шага
для достижения точности.
Аналогичные схемы [7, 14] существуют и для уравнения (3). Одна-
ко при расчетах фазовых переходов с помощью уравнения (3) регуля-
ризация необходима всегда, что заставляет для достижения точности
делать мелкий временной шаг. В силу квазилинейного характера урав-
нения (3) при использовании неявных схем здесь возникают системы
линейных уравнений. Это позволяет построить неявную схему, назы-
ваемую методом переменных направлений с последующей прогонкой.
Расход машинного времени при выполнении одного временного шага
здесь имеет тот же порядок, что и у явных схем. Однако включение в
такую схему дополнительных рассчитываемых объектов, на которых
надо выставлять граничные условия, сильно усложняет алгоритм. По
этой причине в программном комплексе реализованы явные схемы.
Схемы различаются также способом расчета коэффициента тепло-
проводности. Применяются различные способы. Один из них — зада-
вать эти коэффициенты сразу на гранях. Известно, что такой способ
