8
Н.И. Сидняев, Ю.С. Ильина, Д.А. Крылов
Граничное условие третьего типа:
.
u
u t
n
(9)
Применяется для описания области контакта с двусторонней тепло-
проводящей поверхностью, для которой, с одной стороны, температура
совпадает с температурой наноматериала, а с другой — поддерживает-
ся заданная температура μ(
t
). Данное условие моделирует тонкий слой
теплопроводящего наноматериала. Величина σ рассчитывается по фор-
муле
m
h
(λ
m
— теплопроводность наноматериала,
h
— его толщи-
на). Пример применения — наноконструкция, подверженная темпера-
турным перепадам с внешней и внутренней стороны.
Разностные схемы решения уравнения теплопроводности. Яв-
ная разностная схема для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим
задачу теплопроводности в стержне, начальная температура которого
равна нулю [8]. Пусть температура левого конца фиксирована, а на
правом происходит теплообмен с окружающей средой, так что тепловой
поток пропорционален разности температур конца стержня и среды.
Пусть температура наноматериала определяется функцией
g
(
t
). Дру-
гими словами, мы решаем задачу
, 0 1, 0
,
(0, ) 1,
0
.
(1, )
(1, ) ( ) ,
( , 0) 0, 0 1.
t
xx
x
u u
x
t
u t
t
u t
u t g t
u x
x
(10)
Для ее решения методом конечных разностей [2] построим прямо-
угольную сетку, узлы которой определяются формулами (см. рис. 5)
x
j
=
jh
,
j
= 0, 1, 2, ...,
n
.
y
i
=
ik
,
i
= 0, 1, 2, ...,
m
.
Отметим, что значения
u
ij
на левой и нижней сторонах сетки на рис. 5
известны из граничных и начальных условий и наша задача состоит в
отыскании остальных значений
u
ij
. Для этого заменим частные произ-
водные в уравнении теплопроводности их конечно-разностными ап-
проксимациями:
(УЧП)
(ГУ)
(НУ)
