11
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
также можно построить явную разностную схему. Для этого аппрокси-
мируем
u
tt
и
u
xx
центральными разностными производными:
2
2
1 ( ,
) 2 ( , ) ( ,
) ,
1 (
, ) 2 ( , ) (
, ) ,
tt
xx
u
u x t k u x t u x t k
k
u
u x h t
u x t u x h t
h
а начальное условие — по схеме
1
1
( , 0)
( , ) ( , 0)
( , ) ( ) .
t
u x
u x k u x
u x k
x
k
k
В результате для вычисления величины
u
(
x
,
t
+
k
) получаем следу-
ющую явную схему:
2
( ,
)
2 ( , ) ( ,
)
(
, ) 2 ( , ) (
, ) .
u x t k
k
u x t u x t k
u x h t
u x t u x h t
h
(14)
Из (14) видно, что для вычисления на данном временном слое не-
обходимо знать решение на двух предыдущих слоях. Значит, для на-
чала отсчета необходимо воспользоваться начальным условием на ско-
рость:
1 ( , ) ( )
( ),
u x k
x
x
k
из которого получаем
u
(
x
,
k
) = φ(
x
) +
k
ψ(
x
), т. е. значение при
t
= ∆
t
.
Решение в последующие моменты времени можно находить по явной
формуле (14).
Неявная схема для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим задачу [2, 7]:
(УЧП)
(ГУ)
(НУ)
, 0 1, 0
,
(0, ) 0,
0
,
(1, ) 0,
( , 0) 1,
0 1.
t
xx
x
u u
x
t
u t
t
u t
u x
x
(15)
Воспользуемся следующими конечно-разностными аппроксимаци-
ями для частных производных
u
t
и
u
xx
:
