9
Управление температурным полем и его прогнозирование в нанокомпозиционных ...
1,
,
, 1
,
, 1
2
2
1
1
( ,
) ( , )
,
1
1
(
, ) 2 ( , ) (
, )
2
.
t
i
j
i j
xx
i j
i j
i j
u u x t k u x t
u u
k
k
u
u x h t
u x t u x h t
u
u u
h
h
Подставим эти выражения в уравнение
u
t
=
u
xx
и решим получив-
шееся уравнение относительно значений функции на верхнем времен-
ном слое. В результате получаем
1,
,
, 1
,
, 1
2
2
.
i
j
i j
i j
i j
i j
k
u u
u
u u
h
(11)
Это и есть искомая формула, поскольку она выражает решение в
данный момент времени через решение в предыдущий момент времени
(индекс
i
относится к временной переменной). На рис. 5 выделены те
значения, которые входят в данную формулу.
Теперь можно приступить к вычислениям. Однако сначала необходимо
аппроксимировать производную в граничном условии на правом конце:
(1, )
(1, ) ( ) .
x
u t
u t g t
В результате аппроксимации получаем
,
, 1
,
1
,
i n i n
i n
i
u u
u g
h
(12)
где значения
g
i
=
g
(
ik
) известны. Здесь мы заменили
u
x
(1,
t
) левой раз-
ностной производной, поскольку правая разностная производная по-
требовала бы значений функции за пределами сетки.
Из (12) находим
, 1
,
.
1
i n
i
i n
u hg
u
h
(13)
Формулы (11) и (13) позволяют начать вычисления.
Алгоритм вычислений по явной схеме.
Шаг 1. Находим решение
на сеточном слое
t
= ∆
t
, используя явную формулу (рис. 6):
2,
1,
1, 1
1,
1, 1
2
2
,
2, 3, ...,
1.
j
j
j
j
j
k
u u
u
u u
j
n
h
Шаг 2. Величину
u
2,
n
находим по формуле (13)
