Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа - page 9

Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
9
Прибавив ко второй строке первую, умноженную на ctg , имеем
3 2
3 2
cos cos
cos cos cos sin cos sin cos cos sin
cos cos sin cos sin
0
sin sin sin
sin cos 0 cos sin sin
sin 0 0 cos
cos cos
sin
cos cos cos sin cos sin cos cos sin
cos cos 0 sin cos si
I r
r
  
           
    
 
    
     
 
 
 

           
     

n
.
sin cos 0 cos sin sin
sin 0 0 cos

     
 
Разложим последний определитель по второму столбцу:
3 2
cos cos sin cos sin
cos cos sin cos cos sin sin .
sin 0 cos
I r
      
        
 
Разложив по третьей строке, получаем
 
3 2
3 2 2 2 3 2
sin cos sin cos cos sin
cos cos sin cos
cos sin sin sin cos cos
cos cos sin cos cos cos .
I r
r r
          
        
      
 
        
Тогда
4
2 /2 /2 1 2
2 3
0 /2 /2 0
1
cos cos 2 2 .
2 4 2
G
V dxdydzdw
d d d r dr
  
 
 
 
           
 
   
4. Применение четырехмерного интеграла Пуассона к вычис-
лению объема четырехмерного шара. Предварительно заметим, что
поскольку объем шара радиусом R в n 
1
0 0
( ) ,
r
R R n
n
n n n
S
R
V R dr dS r dr
n
        