Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
11
В частности,
5/2
5/2
2
5
1/2
8 ,
5 3 1
7
15
2 2 2
2
V
3
3
6
,
4 6
V
7/2
7/2
3
7
1/2
16 .
7 5 3 1
9
105
2 2 2 2
2
V
Таким образом, наблюдается следующая общая закономерность:
показатель степени числа
в выражении для
n
V
увеличивается на 1
при переходе от нечетной размерности к четной и остается прежним
при переходе от четной размерности к нечетной. Эта закономерность
проявляется уже при переходе от
1
n
к
2
n
:
1
2
2,
,
V V
где
1
V
— «объем» одномерного шара радиусом 1, т. е. длина отрезка
[ 1,
1].
a a
Другими словами,
[ /2]
n
n
n
V q
, где
n
q
— рациональное
число;
[ / 2]
n
— целая часть числа
/ 2
n
.
В общем случае объем единичного шара может быть записан
следующим образом:
2
( 1)
!
k
k
k
V
k
k
— для четного
2 ,
n k
1/2
1/2
1
2 1
1/2
2
3
1
1
3 3 1
(2 1)!!
2
2
2
2 2 2
k
k
k
k
k
V
k
k
k
k
k
— для нечетного
2 1
n k
.
Отметим, что площадь
n
сферы в
n
-мерном пространстве опи-
сана в курсе уравнений математической физики как коэффициент,
входящий в выражение для фундаментального решения
n
-мерного
оператора Лапласа. Приведенный выше вывод выражения для
,
n
видимо, впервые (во всяком случае на русском языке) опубликован в
2001 г. в работе [2], а вероятностная интерпретация того же по суще-
ству вывода приведена позже в работах [3] и [4].
III. Доказательства расходимости гармонического ряда.
Гар-
монический ряд
1 1 1
1
1
2 3 4
n
(12)
