А.В. Неклюдов
12
рассматривают в курсе математического анализа обычно в самом
начале изучения раздела «Ряды» как пример расходящегося ряда, для
которого выполняется необходимое условие сходимости — стремле-
ние общего члена ряда к 0 при
.
n
Обычно дается доказательство
расходимости, сводящееся к оценке снизу сколь угодно далеких кус-
ков ряда, например
1 1
1 1 1 1
1 2
2 1 2 2
2
n
n n
n
n n
.
Фактически при этом используется то, что для ряда (12) не выпол-
няется условие Коши (фундаментальность последовательности частич-
ных сумм). Однако существуют различные доказательства расходимо-
сти гармонического ряда, в том числе в которых используются лишь
определение суммы ряда и простейшие свойства рядов — вынесение
общего множителя за знак суммы и т. п. Приведем некоторые из таких
доказательств, следуя в основном англоязычному обзору [5], носящему
поэтическое название «Гармонический ряд расходится снова и снова».
Рассмотрим только элементарные доказательства, в которых не исполь-
зуются интегралы, степенные ряды и т. п.
Доказательство 1.
Предположим, что ряд (12) сходится, тогда
его сумма — некоторое положительное число
,
S
т. е.
1
1 .
n
S
n
Разобьем сумму ряда на сумму нечетных и четных слагаемых:
1
1
1
1 .
2 1 2
k
k
S
k
k
Очевидно, что вторая сумма в левой части
1
1 1 1 .
2
2
k
S
k
Но тогда
и первая сумма должна быть равна 1 ,
2
S
т. е.
1
1 1 .
2 1 2
k
S
k
Таким
образом
1 1
1 1 1
1
3 5
2 4 6
,
что невозможно, так как каждое слагаемое первого ряда больше со-
ответствующего слагаемого второго ряда. Таким образом ряд (12) не
может сходиться.
Вероятно, это доказательство расходимости ряда (12) является
самым элементарным из всех существующих. Удивительным обра-
