Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
3
2
2
2
lim 1
lim 1
.
n
n
x
n
n
x
x
I
e dx
dx
dx
n
n
(2)
Для возможности такой перестановки при переходе к пределу ин-
тегрирования, конечно, необходимо обоснование. Для этого можно
использовать известную в теории функций теорему Лебега об огра-
ниченной сходимости. Последовательность
2
1
n
x
n
мажорируется
интегрируемой на всей числовой прямой функцией, так как в силу
неравенства Бернулли для любого натурального
n
имеем
2
2
1
1
1
n
x
n
x
.
(3)
Таким образом, в силу теоремы Лебега справедливо равенство (2).
При желании можно избежать использования теоремы Лебега, относя-
щейся к курсу теории функций и функционального анализа, и обосно-
вать (2) непосредственно. Действительно, согласно неравенству (3) для
любого
0
найдется
N
, такое, что будут справедливы неравен-
ства
2
| |
1
3
n
x N
x
n
,
;
n
(4)
2
| |
.
3
x
x N
e dx
(5)
Последовательность
2
1
n
x
n
сходится на отрезке [ , ]
N N
рав-
номерно в силу теоремы Дини о равномерном характере сходимости
на отрезке монотонной последовательности непрерывных функций
в случае, если предел — непрерывная функция хотя равномерная
сходимость может быть установлена и непосредственно. Поэтому
существует
0
,
n
такое, что для всех
0
n n
и всех
[ , ]
x N N
справедливо неравенство
2
2
1
.
6
n
x
x
e
n
N
(6)
Из (4)–(6) получаем, что при
0
n n
