А.В. Неклюдов
2
грирования), снова получаем равенство
2
.
I
Хорошо известная
связь интеграла Пуассона со значением гамма-функции
0
t
e I
dt
t
1
2
позволяет, казалось бы, при его вычислении апеллировать к
известному значению
1
.
2
Однако данное значение гамма-
функции обычно вычисляется с помощью интеграла Пуассона (см.,
например, [1]). Есть и другие способы вычисления
1
2
. Используя
связь гамма- и бета-функций Эйлера, получим
1
1
2
0
0
1
1 1,
2arcsin
.
2
2 2
1
dt
t
t
t
Однако формула
( ) ( )
( , )
(
)
a b
a b
a b
также доказывает с помощью
двойных (повторных) интегралов! Еще одну возможность дает ис-
пользование формулы дополнения
( ) (1 )
,
sin
a
a
a
однако и ее
вывод основан либо на связи гамма- и бета-функций, либо на допол-
нительных очень громоздких (для студентов 1-го курса технического
университета, еще только изучающих интегральное исчисление
функций одного переменного) выкладках, связанных с преобразова-
ниями гамма-функции и разложением синуса в бесконечное произве-
дение [1]. Связь интеграла Пуассона с двойными интегралами приоб-
ретает, таким образом, почти мистический характер. Тем не менее
существует, хотя и остается незаслуженно малоизвестным, способ
вычисления интеграла Пуассона, в котором используется аппарат ин-
тегрального исчисления функций только одного переменного. Ниже
приводится это хотя и несколько громоздкое, но по-своему поучи-
тельное и, по сути, элементарное решение. Оно использует формулу
Валлиса, которая также может быть доказана элементарными мето-
дами интегрального исчисления функций одного переменного. Для
замкнутости изложения вывод формулы Валлиса дается в конце это-
го раздела.
Данный метод вычисления интеграла Пуассона (1) основан на
представлении подынтегральной функции в виде предела и внесении
интеграла под знак предела:
