Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа - page 8

А.В. Неклюдов
8
2 /2 1
2 2 2 2 2
4
0 /2 0
/2 /2
2 2 2
0 0
/2 2
0
2 1 2 cos 1
1
2 2 2 cos sin 8 sin 2
4
1 2(1 cos 4 ) .
2 2 2
G
V x y z dxdydz d d r r dr
t tdt tdt
t dt
 

 

         
      
 
      
   
 

3. Объем четырехмерного шара как четырехкратный интеграл.
Пусть G — единичный шар с центром в начале координат в простран-
стве 4  переменных , , , .x y z w Тогда его объем может быть вычислен
как интеграл кратности 4 по области G. Этот интеграл можно вычис-
лить в сферических координатах , , ,r    в четырехмерном простран-
стве, которые вводятся следующим образом:
cos cos cos ;
sin cos cos ;
sin cos ;
sin ,
x r
y r
z r
w r
   
   
  
 
где 2 2 2 2 , r x y z w    0 2 , , .
2 2
 
        
Якобиан I перехода к сферическим координатам:
cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos cos sin
sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin cos sin .
sin cos 0 cos cos sin sin
sin 0 0 cos
r r r
r r r
r r
r
              
             
      
 
Вынося из столбцов 2–4 множитель , r из столбцов 2–3 множитель
cos , а из столбца 2 множитель cos , получим
3 2 cos cos
cos cos cos sin cos sin cos cos sin
sin cos cos cos sin sin sin cos sin .
sin cos 0 cos sin sin
sin 0 0 cos
I r  
           
          

     
 