Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
5
Тогда из (2) и (7) получаем
1
1
(2 3)!!
lim
2 ( 1)!
(2 1)!!
2 1
lim
.
2 ( 1)! 2 1 2 1
2
n
n
n
n
n n
I
n
n
n
n
n
n
В заключение этого раздела приведем вывод формулы Валлиса.
Докажем сначала вспомогательные утверждения.
Утверждение 1.
Для интегралов
/2
0
sin
n
n
I
xdx
справедливо ре-
куррентное соотношение
2
1 .
n
n
n I
I
n
(8)
Доказательство.
Интегрируя по частям, получаем
/2
2
2
0
/2
1
2
2
0
sin (1 cos )
1
1
cos (sin )
,
1
1
n
n
n
n
n
n
I
x
x dx
I
xd
x I
I
n
n
откуда следует (8).
Утверждение 2.
1
lim 1.
n
n
n
I
I
Доказательство.
Так как
2
1
1
2
n
n
n
n
n
I
I
I I
I
, то
2
1
2
n
n
n
n
n
n
I
I
I
I
I
I
. В силу (8) крайние члены неравенства при
n
стремятся к
1
, следовательно, средняя часть также стремится к
1
.
Доказательство формулы Валлиса.
Пусть
.
m
Согласно (8)
2 1
2 1
2 3
2
2 2 2
2 1
2 1 2 1
m
m
m
m
m m
I
I
I
m
m m
1
2 2 2 4 2
2 ! ,
2 1 2 1 5 3 (2 1)!!
m
m m
m I
m m
m
(9)
2
2 2
2 4
2 1
2 1 2 3
2
2 2 2
m
m
m
m
m m
I
I
I
m
m m
0
2 1 2 3 3 1 (2 1)!! .
2 2 2 4 2
2 ! 2
m
m m
m I
m m
m
(10)
