Некоторые нестандартные доказательства и задачи в курсе математического анализа - page 15

Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
15
1 1 1 1 2 3 4 5
1 1
2 3 4 2 6 12 20 30
1 1 1 1 1 1 1
1
2 6 12 20 6 12 20
S            
   
             
   
 
 
1
1 1 1 1
1 .
12 20 30 ( 1)
n k n k k
 
 
 
           
  (13)
Очевидно, что
1 1 1 1 ,
( 1) 1
k n k n k k k k n
 
 
 
  
 
    
тогда из (13) следует
1
1 11 .
n
S S
n


   
Доказательство 8.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5
1 3 6 10 15 ( 1) / 2
1 1 1 1 1 1
2 2( 1).
2 3 4 5 6 1
S
n
n n
S
n
     
                
     
        

 
        
 
  

 
 
Из неравенства 2( 1) S S  следует 2 S  . Однако 1 1 1
2 3
S    
1 25 2.
4 12
   Получаем противоречие.
IV. О суммировании рядов Дирихле различной кратности.
Суммы однократных рядов Дирихле для четных значений показателя
(т. е. значения дзета-функции Римана в четных точках)
2
1
1
(2 ) ,
p
n
p n


   , p  
могут быть найдены с помощью рядов Фурье. Например, используя
разложение в ряд Фурье функции, коэффициенты Фурье которой эк-
вивалентны 2 1 n при , n  или используя равенство Парсеваля для
функции с коэффициентами Фурье порядка 1/ ,n несложно получить
значение