А.В. Неклюдов
10
объем единичного шара
,
n
n
V n
где
n
— площадь единичной
сферы в
n
(здесь
r
S
— сфера радиусом
R
). Соответственно при
n
= 4
имеем
4
4
4.
V
Площадь единичной сферы
4
может быть найдена
следующим образом. Рассмотрим в
4
функцию
2 2 2 2
x y z w
e
и проин-
тегрируем ее по всему пространству
4
двумя способами: 1) стан-
дартным образом в декартовых координатах; 2) сначала по сфере ра-
диусом
r
, а затем по
r.
В результате имеем
2 2 2 2
4
x y z w
e
dxdydzdw
2
2
2
2
4
2
( )
,
x
y
z
w
e dx e dy e dz e dw
(11)
2 2 2 2
2
4
2
2
2
2
2
0
3
2
4
4
0
0
2
2
2
4
4
4
0
0
0
1
( )
2
1
1
1
( )
( )
.
2
2
2
r
x y z w
r
S
r
r
r
r
r
e
dxdydzdw e dr dS
r e dr
r d e
r e
e d r
e d r
Сравнивая полученный результат с (11), получаем
2
4
,
2
2
2
4
4
4
2 ,
.
4 2
V
5. Вычисление объема
n
-мерного шара с помощью многомер-
ного интеграла Пуассона.
Рассуждения из п. 4 могут быть перене-
сены на случай шара в
n
-мерном пространстве. При этом интеграл
по
r
легко может быть сведен к гамма-функции:
2 2
2
2
1 2
2
/2
1 2
0
1
/2 1
0
0
1
1
.
2
2
2
n
n
r
n
x x
x
r
n
S
n
r
n
t
n
n
n
e
dx dx dx
e dr dS
n
r e dr
t
e dt
Тогда для площади сферы и объема шара радиусом 1 получаем
/2
2 ;
2
n
n
n
/2
/2
2
1
2
2
n
n
n
n
V
n
n
n n
.
