Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
17
Используя это значение, можно вычислить сумму следующих ря-
дов Дирихле кратностью 1 и 2:
6
4 2
1
, 1
1
1
,
n
m n
m n
A
B
n
m n
. Действи-
тельно,
3
2
6
4 2
2 2 2
1
1
, 1
1
1
1
1
1
3
6
,
n
n
m n
m n k
m n
n
n
m n
m n k
4
2
6
4 2
1
1
1
, 1
1 1
1
1
n
n
n
m n
m n
n n
n
m n
.
Используя значения
2
4
(2)
, (4)
6
90
и сумму тройного ряда
(15), для
A
и
B
получим систему уравнений
6
3
6
1 6
3
;
6 7!
1 1 ,
90 6
A B
A B
решив которую, имеем
6
6
1
1
(6)
,
945
n
A
n
6
4 2
, 1
1
.
1260
m n
m n
B
m n
Аналогично, приравнивая коэффициенты при произвольной не-
четной степени
2 1
k
x
в (14), получим
1 2
2
2 2
2
1
1 2
( 1)
( 1)
1 ,
(2 1)!
k
k
k
k
m m m
k
k
m m m
т. е. сумму кратного ряда Дирихле
1 2
2
2 2
2
1
1 2
1
.
(2 1)!
k
k
m m m
k
m m m k
Заметим, что возможность формального раскрытия скобок и при-
равнивания коэффициентов при одинаковых степенях в (14) следует
из допустимости дифференцирования под знаком бесконечного про-
изведения (14) любое число раз, которая, в свою очередь, вытекает из
