А.В. Неклюдов
6
Из (9)–(10) получаем
2
2
2
2
2 1
2
2
2 ( !)
2 2 ( !) (2 1) 2 .
(2 1)!!(2 1)!!
((2 1)!!)
m
m
m
m
I
m
m m
I
m m
m
Так как левая часть при
m
стремится к 1, то
2
2
2
2
2 ( !) (2 1)
lim
((2 1)!!)
m
m
m m
m
.
II. О вычислении объема четырехмерного шара.
Понятие объ-
ема (меры) множества в евклидовом пространстве размерности
больше трех обычно не входит в курсы математического анализа.
Между тем такой объем может быть рассмотрен хотя бы для четы-
рехмерного случая как органическая часть курса анализа и как до-
полнение к курсу линейной алгебры, в котором изучаются евклидовы
пространства произвольной (конечной) размерности. Для рассмотре-
ния четырехмерного объема достаточно понятия определенного ин-
теграла, хотя полезным также является и использование тройного, а
также и четырехкратного интеграла. Ниже приведены несколько воз-
можных способов вычисления четырехмерного объема на примере
шара. Как дополнение один из способов применяется к шару в
n
-
мерном пространстве.
В качестве замечания отметим, что объем шара
( )
n
V R
произвольно-
го радиуса
R
в
n
должен иметь вид ( )
,
n
n
n
V R V R
где
(1)
n
n
V V
—
объем шара радиусом 1. В частности,
4
4
4
( )
.
V R V R
Поэтому фактиче-
ски достаточно уметь вычислять объем единичного шара.
1. Объем четырехмерного шара как интеграл от «площадей»
(трехмерных объемов) сечений шара гиперплоскостями.
Формула
( )
b
a
V S x dx
вычисления объема трехмерного тела по площадям
( )
S x
его сечений плоскостями
const
x
может быть перенесена на че-
тырехмерный случай естественным образом. Пусть в пространстве
4
введены прямоугольные декартовы координаты
, , , .
x y z w
Если
«площадь» (на самом деле трехмерный объем) сечения некоторого
тела (области)
G
(трехмерной) гиперплоскостью
const
w
описыва-
ется непрерывной функцией ( ),
S w
то четырехмерный объем всего
тела
( ) .
b
a
V S w dw
Рассмотрим шар радиусом 1 с центром в начале
координат в
4
и сечение шара гиперплоскостью
const ( 1; 1).
w
Это сечение представляет собой трехмерный шар, подобно тому, как
