А.В. Неклюдов
14
Доказательство 4.
В этом доказательстве, как и в предыдущем,
оценивается снизу далекий отрезок ряда, на этот раз состоящий из
слагаемых с номерами от
( 1)! 1
k
до
!
k
:
1
1
1
1
1
! ( 1)!
1 .
( 1)! 1 ( 1)! 2
!
!
k k
k
k
k
k
k
Отсюда для частичной суммы порядка
!
n
имеем
!
2
1
1 1
1
1 1
1 1
( 1)
.
2 3
2 2
n
n
k
n
S
n
n n
k
n
Таким образом, частичные суммы ряда (12) не ограничены.
Следующие доказательства основаны на получении для суммы
ряда (12) (в предположении, что он сходится) оценки вида
S S
и т. п. Фактически получение такой оценки также выражает то, что
члены ряда убывают слишком медленно, и «внутри» ряда можно вы-
делить часть, превышающую сумму ряда целиком.
Доказательство 5.
Предположим, что ряд (12) сходится и его
сумма равна
S
. Тогда
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6
2 2 4 4 6 6
1 1 1
.
2 3
S
S
Доказательство 6.
Снова предположим сходимость ряда (12) к
сумме
S
.
Так как при
2, 3,
n
2
1 1 2 2
1 1
1
n
n n n
n
,
то
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1
2 1 2 1
1
3 1 3 3 1
3 3 6 6
2 1
2 1
1 1
1
1 1
1 .
9 9
3 3
2 3
S
n
n n
S
n n
n
Доказательство 7.
Поскольку
