Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
13
зом оно, тем не менее, является мало известным даже среди препода-
вателей высшей математики. На русском языке оно, возможно, во-
обще публикуется впервые (если не считать Интернета). Согласно
обзору [5], впервые оно опубликовано только в 1979 г. [6] и затем пе-
реопубликовано в 1997 г. [7]. Причина расходимости ряда (из поло-
жительных слагаемых) — слишком медленное убывание общего чле-
на — в данном случае находит свое выражение в том, что четные
слагаемые «забирают» себе половину всей суммы, что невозможно.
Такое же доказательство можно провести и для ряда Дирихле
1
1
n
n
с показателем
1;
в этом случае доля четных слагаемых была бы
даже больше половины всей суммы.
Доказательство 2.
Пусть
1
1
1
2
n
S
n
— частичная сумма ряда (12). Используя неравенство
1
x
e
x
,
справедливое для всех
0
x
, получим оценку снизу
1 1/2 1/3
1/( 1)
1/
3 4
1
2
1,
2 3
1
n
S
n
n
n n
e e e e e
e
n
n n
таким образом
n
S
при
n
. Заметим, что одновременно была
получена оценка снизу для частичных сумм
ln( 1)
n
S
n
. Это дока-
зательство, согласно [5], впервые опубликовано в 1976 г. [8]. Такое
же по существу доказательство можно провести, используя неравен-
ство
ln(1 ):
x
x
1
1 ln 1
ln ( 1).
n
n
k
S
n
k
Кроме того, также
можно
вместо
неравенства
использовать
эквивалентность
1 1
ln 1
,
.
n
n n
Доказательство 3. (Я. Бернулли, 1689 г.).
Так как
2
2
2
2
1 1
1
1
1
(
)
1 ,
1 2
1 1 1
1 1,
1 2
n n
n n
n
n
n
n n n
n
то
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1
2 3 4 5 25
n
n
