1
УДК 517.3
Некоторые нестандартные доказательства
и задачи в курсе математического анализа
©
А.В. Неклюдов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В настоящей статье рассмотрены несколько вопросов и задач, дополняющих основ-
ной курс математического анализа в техническом университете: вычисление несоб-
ственного интеграла Пуассона методами интегрального исчисления функций одной
переменной, разные подходы к вычислению объема шара в многомерном простран-
стве, различные, в основном малоизвестные доказательства расходимости гармони-
ческого ряда, вычисление сумм рядов Дирихле с помощью бесконечного произведения.
В популярных учебниках, как правило, эти вопросы не рассматриваются. Этот мате-
риал может быть полезен для преподавателей и хорошо успевающих студентов, фа-
культативной работы, подготовки к олимпиадам по математике и т. п.
Ключевые слова:
интеграл Пуассона, объем n-мерного шара, гармониче-
ский ряд, ряды Дирихле.
I. Вычисление интеграла Пуассона без использования двой-
ных интегралов.
Несобственный интеграл Пуассона (Пуассона —
Эйлера)
2
x
I
e dx
(1)
является одним из самых известных в курсе анализа примеров вычис-
ления «неберущегося» несобственного или определенного интег-
рала. Очень простой и эффективный способ его вычисления с по-
мощью двойного интеграла по всей плоскости
2 2
2
x y
e dxdy I
в полярных координатах рассматривается в большинстве стандартных
курсов анализа. Выход с прямой на плоскость при решении сугубо
одномерной по формулировке задачи, с одной стороны, дает пример
того, как более общая теория позволяет очень просто решить задачу,
кажущуюся неприступной в рамках теории более частной. С другой
стороны, создается впечатление, что вычисление интеграла Пуассона
в принципе может иметь только двумерный характер. Это впечатление
усиливается после ознакомления с менее известными способами вычис-
ления интеграла Пуассона, которые, по сути, также имеют двумерный
характер. Например, вычисляя двойной интеграл по всей плос-
кости
2
2
(1 )
x y
xe
dxdy
двумя способами (меняя порядок инте-
