Некоторые доказательства и задачи в курсе математического анализа
7
двумерные круги являются сечениями шара в трехмерном простран-
стве. Радиус такого трехмерного сечения
2
( ) 1 .
R w w
Тогда
«площадь» такого трехмерного сечения
2 3
3
4 (1 )
4 ( )
.
3
3
w
R w
От-
сюда для объема единичного шара в
4
получаем определенный ин-
теграл, который вычисляем путем замены переменной
sin :
x
t
1
1
2
2 3
4
4
1
1
4
4
4 3
(1 )
cos
.
3
3
3 8 2
V
w dw
tdt
Интеграл по
t
может быть вычислен
с помощью формулы пони-
жения вида
4
2
0
3 3 1
4 4 2
I
I
I
.
Таким образом, объем шара радиусом
R
2 4
4
( )
.
2
R
V R
2. Объем четырехмерного шара как тройной интеграл.
Объем
тела, ограниченного поверхностями
( , ),
0
z f x y z
и цилиндриче-
ской поверхностью с образующими, параллельными оси
Oz
, равен
двойному интегралу
( , )
,
D
f x y dxdy
где
D —
двумерная область, нахо-
дящаяся в основании данного тела. Аналогично объем четырехмерного
тела, ограниченного гиперповерхностью
( , , ) 0,
w f x y z
цилиндри-
ческой поверхностью с образующими, параллельными оси
OW
,
которая
имеет в основании трехмерную область
G
, лежащую в гиперплоскости
0,
w
вычисляется по формуле
( , , )
.
G
V f x y z dxdydz
Для шара, ограниченного сферой
2
2
2
2
1,
x y z w
имеем
2
2
2
( , , ) 1
,
f x y z
x y z
трехмерный шар
2
2
2
1
x y z
в каче-
стве основания тела. Тогда объем единичного четырехмерного шара
находим как удвоенный объем верхнего (
0
w
) полушара ,
G
вычис-
ляя тройной интеграл в сферических координатах:
