Влияние стратификации и глубины на возмущения при обтекании препятствий
13
где
1
2 0
2
2
1
2
1
2
1
2
( )
ch(
)
ch ch
[(1 )
] th th
(th
th )
ME
F
E E
E E
E E
E E
Вначале рассмотрим случай положительных
X
и исследуем
функцию
1
(
).
J X
Для получения решения, затухающего вверх по
потоку, сместим контур интегрирования для
1
(
)
J X
в нижнюю по-
луплоскость, т. е. будем понимать
1
J
как следующий предел:
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
(
) lim (
) lim
( )
2
i
iX
i
J X
Z X
F e d
Для вычисления
1
1
(
)
Z X
рассмотрим вспомогательный кон-
тур
,
состоящий из отрезка
1 1
[
];
i
i
дуги
R
C
окружности
радиусом
2 2
1
,
R
соединяющей точку
1
i
с точкой
;
iR
n
полуокружностей
1
0;
j
j
c
i
Re
системы отрезков
1
1 1 1
1
1 1
1
1
[
(
)] [ (
) (
)] [ (
) ]
n
j
j
n
j
d i i
i
i
i
iR
, соединя-
ющих соответствующие точки этих полуокружностей на мнимой оси,
а также отрезков
1 1 1
[
(
)]
i i
и
1
[ (
) ].
n
i
iR
Здесь
( 1 2 )
j
i
j
… n
— все полюса функции
( ),
F
расположенные в
верхней полуплоскости на мнимой оси и удовлетворяющие неравен-
ству
.
j
R
Обозначим через
j
действительные положительные полюса
функции
( ),
F
а через
s
— их число
(0
2).
s
Поскольку внутри
контура
функция
( )
F
регулярна всюду за исключением особых
точек
,
j
то, согласно основной теореме теории вычетов, имеем
1
( )
2 res ( )
k
k
s
iX
iX
k
F e d
i
F e
(23)
Однако
1
1
( )
( )
( )
i
iX
iX
iX
C
i
R
F e d
F e d
F e d
