И.Ю. Владимиров, Н.Н. Корчагин, А.С. Савин
6
Таким образом, исходная задача сведена к отысканию функций
U
1
(
z
) и
2
( ),
U z
удовлетворяющих граничным условиям (8)–(11). При-
чем функция
U
1
(
z
) регулярна в области –∞ <
y
< +∞, 0 <
y
<
H
1
, а
U
2
(
z
) — в области –∞ <
y
< +∞, –
H
2
<
y
< 0 всюду за исключением
точки
,
z ih
в которой она имеет полюс второго порядка (в этой
точке расположен диполь). Возмущение свободной поверхности по
отношению к ее равновесному положению можно вычислить с по-
мощью динамического условия (4) на границе верхнего слоя.
Будем искать комплексно-сопряженную скорость
1
( )
U z
в виде ее
разложения в интеграл Фурье по волновым числам, а
2
( )
U z
— как
сумму комплексно-сопряженной скорости, индуцированной источ-
ником в безграничном потоке, и регулярной функции, представлен-
ной интегралом Фурье:
1
0
( )
( )
;
2
ikz
ikz
m U
A k e B k e dk
(12)
2
2
0
1
( )
( )
,
2 (
)
ikz
ikz
m U
C k e D k e dk
z ih
(13)
где ( ), ( ), ( ), ( )
A k B k C k D k
— неизвестные функции.
Применив равенство
0
2
0
если
;
1
(
)
если
,
kh ikz
kh ikz
k e e dk
y h
z ih
k e e dk
y h
получим из (13) выражения для функции
2
( )
U z
в областях нижнего
слоя, находящихся соответственно над и под точкой локализации ди-
поля:
0
2
0
если
;
( )
( )
2
( )
если
( )
( )
2
kh
ikz
ikz
ikz
kh
ikz
m
dk
y h
ke C k e D k e
U z
m
dk
y h
C k e ke D k e
(14)
Подставив формулы (12) и (14) для комплексно-сопряженных
скоростей
1
( )
U z
и
2
( )
U z
в граничные условия (8)–(11), перепишем
последние в виде
