И.Ю. Владимиров, Н.Н. Корчагин, А.С. Савин
16
1
1
1 2
( )
( ) 2
sin
( )
s
j
j
j
j
g
S X ME
X
g
(29)
Обращаясь теперь к условиям (21), (22), получаем, что при
вн
1 кр
E E
искомые волновые возмущения представляют собой сумму
двух мод — внутренней (вследствие неоднородности жидкости) и
поверхностной, причем первая соответствует меньшему корню
1
,
а
вторая — большему
2
.
Если
пов
вн
кр
1 кр
,
E E E
то
( )
S X
состоит лишь
из одной поверхностной моды, а при
пов
1 кр
E E
поверхностные волны
за обтекаемым препятствием не образуются и
( ) 0.
S X
Рассмотрим интеграл (16) при
0.
X
Тогда при вычислении
1
(
)
J X
будем использовать вспомогательный контур
1
,
пред-
ставляющий
собой
объединение
горизонтального
отрезка
1
1
[
]
i
i
и расположенной под ним части контура
,
а при
вычислении
2
(
)
J X
— контур
1
,
симметричный контуру
1
от-
носительно действительной оси (см. рис. 3). Проводя далее рассуж-
дения, аналогичные случаю
0,
X
для отклонения свободной по-
верхности получаем выражение
1
( )
res ( )
j
j
X
i
j
Z X i
F e
показывающее, что поверхностные возмущения перед обтекаемым
препятствием имеют непериодический затухающий характер.
Задача 2.
В аналогичной постановке исследуем задачу о генера-
ции поверхностных возмущений обтекаемым препятствием, модели-
руемым точечным диполем, но локализованным над скачком плотно-
сти, т. е. в точке
z ih
(
1
(0
h H
(см. рис. 1). Как и ранее, ком-
плексно-сопряженную скорость
{1 2}
k
k
в
k
-м слое представим в
виде
.
k
k
V U
Необходимо найти аналитические функции
1
( )
U z
и
2
( ),
U z
удовлетворяющие граничным условиям (8)–(11), при этом
1
( )
U z
должна иметь полюс второго порядка в точке
.
z ih
Проводя те же процедуры, что и при решении задачи 1, получаем
следующее интегральное выражение для возвышения поверхности:
1
1
2
2
1
2
2 2
1
0
(
)
( )
( )
( )
cos
,
2 (
(
) )
kH
kH
Vm x H h
x
A k e
B k e
kx dk
g x H h
