8
Г.К. Боровин, И.С. Ильин, Г.С. Заславский, С.М. Лавренов, В.В. Сазонов и др.
1
1
,
μ ′μ =
μ + μ
3
1
3
3
1
1
,
L
L
L
B
a
r
r
⎛
⎞
′
′
− μ μ
=
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
где μ
1
, μ — массы Солнца и Земли;
a
1
— астрономическая единица;
r
L
1
,
r
L
— расстояния от точки
L
2
до Солнца и Земли;
n
1
— средняя угловая
скорость орбитального движения Земли;
A
,
B
,
C
,
D
, φ
1
, φ
2
— постоян-
ные интегрирования.
Формулы (1) представляют собой общее решение линеаризован-
ных уравнений, описывающих малые колебания КА в окрестности
точки
L
2
[1]
.
Наличие слагаемого
De
–λ
t
, затухающего с ростом
t
, позволяет КА,
находящемуся на гало-орбите в начальный момент времени, удаляться
от точки
L
2
на значительное расстояние. Поэтому в рамках задачи трех
тел существует семейство орбит (орбиты перелета), которые, с одной
стороны, достаточно близко подходят к Земле (в начальный момент
времени), а с другой стороны, некоторое время являются гало-орбита-
ми (спустя 100 сут после отлета от Земли). На этом свойстве основан
метод построения начального приближения для траекторий перелета
с низкой орбиты ИСЗ на заданную гало-орбиту в окрестности точки
L
2
без импульса торможения.
Определим
*
1
.
L
x
r
= −θ
Выбором θ в интервале
2 3,
3 4
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
можно удов-
летворить следующим условиям. Если траектория начинается в окрест-
ности Земли и является асимптотической к условно-периодической
орбите, расположенной в достаточно малой окрестности
L
2
, то такая
траектория обязательно пересечет плоскость
x
1
=
x
1
*
. При этом харак-
теристики траектории для
*
1
1
x x
<
должны удовлетворительно описы-
ваться решениями задачи двух тел, а при
*
1
1
x x
>
линейным прибли-
жением (рис. 4).
Асимптотическое приближение к условно-периодической орбите
в рамках такого приближения определяется условием
C
= 0. За счет
выбора
D
обеспечивается сопряжение гало-орбиты с орбитой ИСЗ.
Пусть начало отсчета выбрано так, что при
t
=
t
0
выполняется равен-
ство:
x
1
=
x
1
*
. Тогда из первого уравнения системы (1) находим
*
1
1
cos .
L
D x r A
= + − ϕ
(2)
