Одномерный фотонный кристалл как отражающая или волноведущая диэлектрическая …
9
Структура матрицы (9) нерегулярна только вследствие наличия в
первой строке элемента
p
1
, а в последней строке – элемента
p
4
. Де-
терминант
D
2
N +
1
этой матрицы можно разложить по паре элементов
первой и затем последней строки. Введем обозначения
3 2
( ,
)
2 1
,
p p
N
D
3 3
( ,
)
2 2
p p
N
D
,
2 2
( ,
)
2 2
p p
N
D
,
2 3
( ,
)
2 3
p p
N
D
для регулярных детерминантов соответ-
ствующих порядков, у которых боковые диагонали начинаются с
элементов
p
3
(
p
2
), и заканчиваются элементом
p
2
(
p
3
). Тогда
D
2
N
+ 1
=
3 2
( ,
)
2 1
p p
N
D
p
4
p
3
3 3
( ,
)
2 2
p p
N
D
p
1
p
2
2 2
( ,
)
2 2
p p
N
D
+
p
1
p
2
p
3
p
4
2 3
( ,
)
2 3
.
p p
N
D
(10)
Прошедшее поле.
Из последнего равенства (3) следует выраже-
ние
U
2
N +
1
(
,
z
)
= B
2
N +
1
(
)
0
( )
i
z
e
для образа Фурье прошедшего
поля, а с учетом последнего равенства в (6):
U
2
N +
1
(
,
z
)
= F
2
N
(
)
0
( ) (
)
i
z ND
e
.
При этом,
F
2
N
(
) как решение алгебраической системы (8) выпи-
сывается в виде
F
2
N
(
)
=
1
2 1
N
D
(
)
1
0
2
3
3
2
2
3
3
2
2
4
1
0 0 0 0 . . .
1
0 0 0 . . .
0
0
1
0 0 . . .
0
0 0
1
0 . . .
0
0 0 0
1
. . .
0
.... .... .... .... .... ....
. . .
0
0 ... ... ... ...
1 0
0 ... ... ... ...
0
0
p
A
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
.
Если раскрыть определитель в числителе по элементам последнего
столбца, то оставшийся определитель порядка 2
N
станет определите-
лем треугольной матрицы и легко вычисляется в виде (
p
2
p
3
)
N –
1
p
2
p
4
.
Следовательно,
F
2
N
(
)
= A
0
1
2 1
N
D
(
)(
p
2
p
3
)
N
– 1
p
2
p
4
.
В свою очередь,
U
2
N
+1
(
,
z
) =
A
0
(
)
1
2 1
N
D
(
)(
p
3
)
N
– 1
(
p
2
)
N
p
4
0
( ) (
)
i
z ND
e
. (11)
Само прошедшее поле
u
2
N+
1
(
y
,
z
) определяется через обратное
преобразование Фурье в виде
